Question

已知等比數(shù)列{x_n}的各項(xiàng)為不等于1的正數(shù)，數(shù)列{y_n}滿足y_n=2log_ax_n（a＞0且a≠1），已知y₄=17，y₇=11．
（1）證明：數(shù)列{y_n}是等差數(shù)列；
（2）問(wèn)數(shù)列{y_n}的前多少項(xiàng)的和最大，最大值為多少？

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì),等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,等差關(guān)系的確定

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出y_n-1-y_n=2log_aq為常數(shù)，從而證明{y_n}是等差數(shù)列；
（2）求出{y_n}是首項(xiàng)為23，公差為-2的等差數(shù)列，進(jìn)而求出y_n=23+（n-1）•（-2）=25-2n，設(shè){y_n}的前n項(xiàng)和為T_n，T_n=-n²+24n=-（n-12）²+144，由此求出當(dāng)n=12時(shí)，前12項(xiàng)和最大，最大值為144．

解答： 解：（1）設(shè)數(shù)列{x_n}的公比為q，則x_n=x₁q^n-1，
∴y_n=2log_ax_n=2log_ax₁+2（n-1）log_aq，
∴y_n-1-y_n=2log_ax₁+2nlog_aq-[2log_ax₁+2（n-1）log_aq]=2log_aq為常數(shù)，
∴{y_n}是等差數(shù)列；
（2）設(shè)公差為d，由y₄=17，y₇=11，
可得y₁+3d=17，y₁+6d=11
解得y₁=23，d=-2，
∴y_n=23+（n-1）•（-2）=25-2n，
設(shè){y_n}的前n項(xiàng)和為T_n，
T_n=

n(23+25-2n)

2

=-n²+24n=-（n-12）²+144，
∴當(dāng)n=12時(shí)，前12項(xiàng)和最大，最大值為144．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的判斷，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和最大值的求法，求出數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵．