Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求在處的切線方程；

（2）當時，討論的單調性；

（3）若有兩個極值點、，且不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）

【解析】

（1）先對函數(shù)求導，求出切線方程的斜率，再求出該點的函數(shù)值，利用點斜式求解；（2）利用導函數(shù)的正負判斷原函數(shù)的單調性，再分類討論；（3）從函數(shù)在上有兩個極值點，根據(jù)韋達定理得到與的關系，分離出參數(shù)，從而得到關于的新函數(shù)，再求最值.

解：（1）當時，，，，，

所以，函數(shù)在處的切線方程為，即；

（2）函數(shù)定義域為，，

二次函數(shù)的判別式.

①若時，即當時，對任意的，，

此時，函數(shù)單調遞增區(qū)間為，無減區(qū)間；

②若時，即當時，

由，得或.

當，或時，，

當時，，

此時，函數(shù)單調遞增區(qū)間為，，單調遞減區(qū)間為；

（3）由（2）知，，且，

不等式恒成立等價于恒成立，

所以，

令，則，

所以在上單調遞減，所以，所以.

因此，實數(shù)的取值范圍是.