【題目】已知正項數(shù)列的前項和為，對任意，點都在函數(shù)的圖像上．

（I）求數(shù)列的首項和通項公式；

（II）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和；

（III）已知數(shù)列滿足．若對任意，存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．

【答案】（1）（2）（3）

【解析】試題分析：（I）由點都在函數(shù)的圖像上，可得，進而得，兩式相減可得結(jié)論.；（II）由（I）知，所以，利用錯位相減法可得結(jié)果；（III），利用分組求和及裂項相消法可得，進而利用不等式恒成立解答即可.

試題解析：（I）由題知，當時， ，所以．

，所以，兩式相減得到

，

因為正項數(shù)列，所以，

數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以．

（II）由（I）知，所以，

因此①，

②，

由①-②得到

所以．

（III）由（II）知，所以

．令為的前項和，易得．

因為，當時，

，而，得到

，所以當時， ，所以．

又， 的最大值為．

因為對任意的，存在，使得成立．

所以，由此．

【易錯點晴】本題主要考查分組求和、裂項求和、“錯位相減法”求數(shù)列的和，以及不等式恒成立問題，屬于難題. “錯位相減法”求數(shù)列的和是重點也是難點，利用“錯位相減法”求數(shù)列的和應注意以下幾點：①掌握運用“錯位相減法”求數(shù)列的和的條件（一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的積）；②相減時注意最后一項 的符號；③求和時注意項數(shù)別出錯；④最后結(jié)果一定不能忘記等式兩邊同時除以.

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（3）證明：（）.

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（1）若，求；

（2）若對任意的成等差數(shù)列，其公差為.設(shè).

①求證:成等差數(shù)列并指出其公差；

②若，試求數(shù)列的前項和.

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（1）求索道的長；

（2）問：乙出發(fā)多少后，乙在纜車上與甲的距離最短？

（3）為使兩位游客在處互相等待的時間不超過，乙步行的速度應控制在什么范圍內(nèi)？

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