【題目】已知函數(shù), .

(1)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(2)求證: ;

(3)求證:當(dāng)時(shí), , 恒成立.

【答案】(1)當(dāng)時(shí),函數(shù)上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是.(2)見(jiàn)解析;(3)見(jiàn)解析.

【解析】試題分析:(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),對(duì)討論,分當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),令導(dǎo)數(shù)大于0,得增區(qū)間,令導(dǎo)數(shù)小于0,得減區(qū)間;
(2),由(1)可知,函數(shù)的最小值為,不等式得證;

(3)構(gòu)造函數(shù),證明其最小值大于等于0即可.

試題解析:(1)

(。┊(dāng)時(shí), ,函數(shù)上單調(diào)遞增;

(ⅱ)當(dāng)時(shí),令,則

當(dāng),即時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增;

當(dāng),即時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減.

綜上,當(dāng)時(shí),函數(shù)上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是.

(2)證明:令,由(1)可知,函數(shù)的最小值為,∴,即.

(3)證明: 恒成立與恒成立等價(jià),

,即,則,

當(dāng)時(shí), (或令,則上遞增,∴,∴上遞增,∴,∴

在區(qū)間上單調(diào)遞增,

,

恒成立.

點(diǎn)晴:本題主要考查函數(shù)單調(diào)性,不等式恒成立,及不等式的證明問(wèn)題.要求單調(diào)性,求導(dǎo)比較導(dǎo)方程的根的大小,解不等式可得單調(diào)區(qū)間,要證明不等式恒成立問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為構(gòu)造新函數(shù),求其值最值即可.這類問(wèn)題的通解方法就是:劃歸與轉(zhuǎn)化之后,就可以假設(shè)相對(duì)應(yīng)的函數(shù),然后利用導(dǎo)數(shù)研究這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值,圖像與性質(zhì),進(jìn)而求解得結(jié)果.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知橢圓)的離心率為,連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的四邊形的面積為

(1)求橢圓的方程;

(2)設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為,右焦點(diǎn)為,直線過(guò)點(diǎn)且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸,動(dòng)直線垂直于點(diǎn),線段的垂直平分線交于點(diǎn),求點(diǎn)的軌跡的方程;

(3)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),取上不同于的點(diǎn),以為直徑作圓與相交另外一點(diǎn),求該圓面積的最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某地政府調(diào)查了工薪階層人的月工資收人,并根據(jù)調(diào)查結(jié)果畫(huà)出如圖所示的頻率分布直方圖,其中工資收人分組區(qū)間是.(單位:百元)

(1)為了了解工薪階層對(duì)工資收人的滿意程度,要用分層抽樣的方法從調(diào)查的人中抽取人做電話詢問(wèn),求月工資收人在內(nèi)應(yīng)抽取的人數(shù);

(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這人的平均月工資為多少元.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】經(jīng)統(tǒng)計(jì),某醫(yī)院一個(gè)結(jié)算窗口每天排隊(duì)結(jié)算的人數(shù)及相應(yīng)的概率如下:

排除人數(shù)

0--5

6--10

11--15

16--20

21--25

25人以上

概率

0.1

0.15

0.25

0.25

0.2

0.05

(1)求每天超過(guò)20人排隊(duì)結(jié)算的概率;

(2)求2天中,恰有1天出現(xiàn)超過(guò)20人排隊(duì)結(jié)算的概率.

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【題目】為研究冬季晝夜溫差大小對(duì)某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽率的影響,某農(nóng)科所記錄了5組晝夜溫差與100顆種子發(fā)芽數(shù),得到如下資料:

組號(hào)

1

2

3

4

5

溫差

10

11

13

12

8

發(fā)芽數(shù)(顆)

23

25

30

26

16

該所確定的研究方案是:先從這五組數(shù)據(jù)中選取2組,用剩下的3組數(shù)據(jù)求出線性回歸方程,再對(duì)被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).

1)若選取的是第1組與第5組的兩組數(shù)據(jù),請(qǐng)根據(jù)第2組至第4組的數(shù)據(jù),求出關(guān)于的線性回歸方程;

2)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過(guò)2顆,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的,試問(wèn)(1)中所得的線性回歸方程是否可靠?

(參考公式:,

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】A已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù)),在直角坐標(biāo)系中,以為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓的方程為

(1)求圓的圓心的極坐標(biāo);

(2)判斷直線與圓的位置關(guān)系.

已知不等式的解集為

(1)求實(shí)數(shù)的值;

(2)若不等式對(duì)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

1當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;

2設(shè)是曲線圖象上的兩個(gè)相異的點(diǎn),若直線的斜率恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

3設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),,若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】若函數(shù)定義域?yàn)?/span>,且對(duì)任意實(shí)數(shù),有,則稱為“形函數(shù)”,若函數(shù)定義域?yàn)?/span>,函數(shù)對(duì)任意恒成立,且對(duì)任意實(shí)數(shù),有,則稱為“對(duì)數(shù)形函數(shù)” .

(1)試判斷函數(shù)是否為“形函數(shù)”,并說(shuō)明理由;

(2)若是“對(duì)數(shù)形函數(shù)”,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(3)若是“形函數(shù)”,且滿足對(duì)任意,有,問(wèn)是否為“對(duì)數(shù)形函數(shù)”?證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程.

已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

1)求曲線的極坐標(biāo)方程;

2)若直線的極坐標(biāo)方程為,求直線被曲線截得的弦長(zhǎng).

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