已知函數(shù)f(x)=
a×2x-1
1+2x
(a∈R)．
（I）若a=2，且f(x)=-
3
2
-2
2
，求x的值；
（II）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（III）當(dāng)a=5時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象是否存在對稱中心，若存在，求其對稱中心；若不存在，請說明理由．
（I）若a=2，則f(x)=
2×2x-1
1+2x
=
2×(2x+1)-3
1+2x
=2-
3
1+2x
≥2-
3
1
=-1，
由于-
3
2
-2
2
＜-1，故方程由f(x)=
2×2x-1
1+2x
=-
3
2
-2
2
無實(shí)數(shù)解．
（II）由題意知，函數(shù)的定義域是R，
∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（x）=-f（-x），
即
a×2x-1
1+2x
=-
a×2-x-1
1+2-x
，即
a×2x-1
1+2x
=-
a-2x
1+2x
，
解得a=1．
（III）當(dāng)a=5時(shí)，f(x)=
5×2x-1
1+2x
．
假設(shè)函數(shù)f（x）的圖象是否存在對稱中心，設(shè)其坐標(biāo)為（h，k），
則對任意x∈R，有f（h+x）+f（h-x）=2k恒成立，
即
5×2x+h-1
1+2x+h
+
5×2h-x-1
1+2h-x
=2k，
整理得，
4-2k=0
(10-2k)×22h-2-2k=0
，
解得
h=0
k=2
，
當(dāng)a=5時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象存在對稱中心，其對稱中心為（0，2）．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1
．
（1）求證：不論a為何實(shí)數(shù)f（x）總是為增函數(shù)；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（3）當(dāng)f（x）為奇函數(shù)時(shí)，求f（x）的值域．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)
a-x  ，x≤0
1  ，0＜x≤3
(x-5)2-a，x＞3
（a＞0且a≠1）圖象經(jīng)過點(diǎn)Q（8，6）．
（1）求a的值，并在直線坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f（x）的大致圖象；
（2）求函數(shù)f（t）-9的零點(diǎn)；
（3）設(shè)q（t）=f（t+1）-f（t）（t∈R），求函數(shù)q（t）的單調(diào)遞增區(qū)間．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
，若f（x）為奇函數(shù)，則a=（　　）
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
，其中a＞0．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若直線x-y-1=0是曲線y=f（x）的切線，求實(shí)數(shù)a的值；
（III）設(shè)g（x）=xlnx-x2f（x），求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
，（a∈R）
（1）求f（x）的定義域；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（3）考察f（x）在定義域上單調(diào)性的情況，并證明你的結(jié)論．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案