Question

已知函數(shù)f(x)=ax-

b

x

-2lnx，且f(e)=be-

a

e

-2．（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
（1）求a與b的關(guān)系式；
（2）若f（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f（x）的解析式及f（e）的解析式確定a與b的關(guān)系．
（2）因?yàn)閒（x）在其定義域（0，+∞）內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，所以，它的導(dǎo)數(shù)大于或等于0恒成立，或它的導(dǎo)數(shù)小于或等于0恒成立，分別就a=0、a＞0、a＜0三種情況進(jìn)行討論．

解答：解：（1）由題意知，f（e）=ae-

b

e

-2=be-

a

e

-2，
∴（a-b）•（e+

1

e

）=0，∴a=b，
（2）由（1）知  f（x）=ax-

a

x

-2•lnx，f′（x）=a+

a

x2

-

2

x

=

ax2-2x+a

x2

，
令 h（x）=ax²-2x+a，因?yàn)閒（x）在其定義域（0，+∞）內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，
∴在其定義域（0，+∞）內(nèi)，h（x）≥0或h（x）≤0恒成立．
①當(dāng)a=0時(shí)，h（x）=-2x，
∵x＞0，∴h（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）在其定義域（0，+∞）內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，
故a=0滿(mǎn)足條件．
②當(dāng)a＞0時(shí)，h（x）圖象是開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，對(duì)稱(chēng)軸是x=

1

a

，h（x）的最小值是a-

1

a

，只需 a-

1

a

≥0，
∴a≥1，即a≥1時(shí)，f（x）在其定義域（0，+∞）內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，故a≥1滿(mǎn)足條件．
③當(dāng)a＜0時(shí)，h（x）圖象是開(kāi)口向下的拋物線(xiàn)，對(duì)稱(chēng)軸是x=

1

a

∈（0，+∞），
∴在（0，+∞）內(nèi)，h（x）≤0成立，
∴f（x）在其定義域（0，+∞）內(nèi)為單調(diào)減函數(shù)，
∴當(dāng)a＜0時(shí)，滿(mǎn)足條件．
綜上可得，a的取值范圍是a≥1或a≤0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想．