【題目】如圖，在市中心有一矩形空地．市政府欲將它改造成綠化景觀帶，具體方案如下：在邊上分別取點(diǎn)M，N，在三角形內(nèi)建造假山，在以為直徑的半圓內(nèi)建造噴泉，其余區(qū)域栽種各種觀賞類植物．

（1）若假山區(qū)域面積為，求噴泉區(qū)域面積的最小值；

（2）若，求假山區(qū)域面積的最大值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）設(shè)，半圓的直徑，根據(jù)假山區(qū)域面積為，找到與的關(guān)系，再表示出噴泉區(qū)域面積，求最值，注意驗(yàn)證半圓是否在矩形空地內(nèi)，即驗(yàn)證是否能取到最小值；

（2）由（1）根據(jù)以為直徑的半圓區(qū)域在矩形廣場內(nèi)，求得的范圍，再將假山區(qū)域面積用表示出來，再求最值.

解：（1）設(shè)，半圓的直徑，半圓的圓心為O．

在直角三角形中，，所以．

因?yàn)榧偕絽^(qū)域面積為，

所以

所以，所以噴泉區(qū)域面積，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．此時(shí)．

因?yàn)辄c(diǎn)O到的距離，點(diǎn)O到的距離，

所以，即，

，即．

所以以為直徑的半圓區(qū)域一定在矩形廣場內(nèi)．

所以當(dāng)時(shí)，取得最小值．

噴泉區(qū)域面積的最小值為．

（2）由（1）知，若，則．

所以點(diǎn)O到的距離，

點(diǎn)O到的距離，

因?yàn)橐?/span>為直徑的半圓區(qū)域在矩形廣場內(nèi)，

所以即所以．

又因?yàn)?/span>，所以．

所以假山區(qū)域面積，

因?yàn)?/span>，所以，

所以當(dāng)時(shí)，假山區(qū)域面積的最大值為．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖1，在等腰梯形中，，，，為的中點(diǎn).現(xiàn)分別沿，將和折起，點(diǎn)折至點(diǎn)，點(diǎn)折至點(diǎn)，使得平面平面，平面平面，連接，如圖2.

（Ⅰ）若、分別為、的中點(diǎn)，求證：平面平面；

（Ⅱ）求多面體的體積.

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【題目】已知拋物線，圓.

（1）若拋物線的焦點(diǎn)在圓上，且為 和圓 的一個(gè)交點(diǎn)，求；

（2）若直線與拋物線和圓分別相切于點(diǎn)，求的最小值及相應(yīng)的值.

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【題目】已知函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.證明:

（1）存在唯一的極值點(diǎn);

（2）有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為相反數(shù).

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【題目】已知菱形的邊長為2， . 是邊上一點(diǎn)，線段交于點(diǎn).

（1）若的面積為，求的長；

（2）若，求.

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【題目】設(shè) （，）．

（1）若展開式中第5項(xiàng)與第7項(xiàng)的系數(shù)之比為3∶8，求k的值；

（2）設(shè)（），且各項(xiàng)系數(shù)，，，…，互不相同．現(xiàn)把這個(gè)不同系數(shù)隨機(jī)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：第1列1個(gè)數(shù)，第2列2個(gè)數(shù)，…，第n列n個(gè)數(shù)．設(shè)是第i列中的最小數(shù)，其中，且i，．記的概率為．求證：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程：在平面直角坐標(biāo)系中，曲線：（為參數(shù)），在以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)、軸的正半軸為極軸，且與平面直角坐標(biāo)系取相同單位長度的極坐標(biāo)系中，曲線：.

（1）求曲線的普通方程以及曲線的平面直角坐標(biāo)方程；

（2）若曲線上恰好存在三個(gè)不同的點(diǎn)到曲線的距離相等，求這三個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】用一個(gè)平行于底面的截面去截一個(gè)正棱錐，截面和底面間的幾何體叫正棱臺(tái).如圖，在四棱臺(tái)中，，分別為的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）若側(cè)棱所在直線與上下底面中心的連線所成的角為，求直線與平面所成的角的余弦值.

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【題目】如圖，在三棱柱中，側(cè)面為邊長為的菱形，側(cè)面為矩形，其中且，平面，點(diǎn)為的中點(diǎn)．

（1）證明：平面；

（2）求二面角的余弦值．

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