Question

設(shè)滿足以下兩個條件的有窮數(shù)列a₁，a₂，…，a_n為n（n=2，3，4，…）階“期待數(shù)列”：
①a₁+a₂+…+a_n=0；②|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=1．
（Ⅰ）分別寫出一個單調(diào)遞增的3階和4階“期待數(shù)列”；
（Ⅱ）若等比數(shù)列{a_n}為2014階“期待數(shù)列”，求公比q的值；
（Ⅲ）若一個等差數(shù)列{a_n}既是2k（k∈N^*）階“期待數(shù)列”又是遞增數(shù)列，求該數(shù)列的通項公式．

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合,等比關(guān)系的確定

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）運用定義，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)書寫簡單些，（2）分q=1，q≠1，討論，結(jié)合題目給出的定義，求解．（3）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求和公式的出a₁+a₂+…+a_k=-

1

2

，
a_k+1+a_k+2+••+a_2k=

1

2

，再運用代數(shù)運算求解，即可．

解答： 解：（1）3階“期待數(shù)列”：-

1

2

，0，

1

2

；
4階“期待數(shù)列”：-

3

8

，-

1

8

，

1

8

，

3

8

；
（2）若q≠1，①a₁+a₂+…+a₂₀₁₄=

a1(1-q2014)

1-q

=0，得q=-1，
②|a₁|+|a₂|+…+|a₂₀₁₄|=1，a₂₀₁₄=

1

2014

，a₂₀₁₄=-

1

2014

，
若q=1，則a₁+a₂+…+a₂₀₁₄=0，則2014a₁=0，a₂₀₁₄=0，不可能，
綜上；q=-1，
（3）一個等差數(shù)列{a_n}既是2k（k∈N^*）階“期待數(shù)列”又是遞增數(shù)列，
公差為d，可知d＞0，
∵a₁+a₂+…+a_2k=0，
∴

1

2

×2k（a₁+a_2k）=0，即a₁+a_2k=0，a_k+a_k+1=0
∵d＞0，∴a₁＜0，a_2k＞0，a_k＜0，a_k+1＞0，
由題目中的條件可知：a₁+a₂+…+a_k=-

1

2

，
a_k+1+a_k+2+••+a_2k=

1

2

，
兩式相減得：k²d=1，d=

1

k2

，
又ka₁+

k(k-1)

2

×

1

k2

=-

1

2

，
a₁=

1-2k

2k2

，
∴a_n=a₁+（n-1）d=

1-2k

2k2

+（n-1）

1

k2

=

1

k2

n-

2k+1

2k2

，（n∈N^*）

點評：本題綜合考查了數(shù)列的概念，性質(zhì)，新定義等知識，屬于難題．