【題目】已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．

（Ⅰ）求的取值范圍；

（Ⅱ）記兩個(gè)零點(diǎn)分別為，且，已知，若不等式恒成立，求的取值范圍．

【答案】（I）;（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）方程在有兩個(gè)不同跟等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)的圖像在上有兩個(gè)不同交點(diǎn),對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，通過(guò)單調(diào)性畫(huà)出的草圖，由與有兩個(gè)交點(diǎn)進(jìn)而得出的取值范圍; （Ⅱ）分離參數(shù)得：,從而可得恒成立；再令,從而可得不等式在上恒成立，再令，從而利用導(dǎo)數(shù)化恒成立問(wèn)題為最值問(wèn)題即可．

試題解析：（I）依題意，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

所以方程在有兩個(gè)不同跟等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)的圖像在上有兩個(gè)不同交點(diǎn).

又，即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，,

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

從而.

又有且只有一個(gè)零點(diǎn)是1，且在時(shí)，，在時(shí)，，

所以的草圖如下：

可見(jiàn)，要想函數(shù)與函數(shù)在圖像上有兩個(gè)不同交點(diǎn)，只需.

（Ⅱ）由（I）可知分別為方程的兩個(gè)根，即，，

所以原式等價(jià)于.

因?yàn)?/span>，，所以原式等價(jià)于.

又由，作差得，，即.

所以原式等價(jià)于.

因?yàn)?/span>，原式恒成立，即恒成立.

令，則不等式在上恒成立.

令，則，

當(dāng)時(shí)，可見(jiàn)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，又在恒成立，符合題意；

當(dāng)時(shí)，可見(jiàn)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

所以在時(shí)單調(diào)遞增，在時(shí)單調(diào)遞減.

又，所以在上不能恒小于0，不符合題意，舍去.

綜上所述，若不等式恒成立，只須，又，所以.

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③函數(shù)在上是增函數(shù)，試分別探究下列兩小題：

（1）判斷函數(shù)數(shù)及是否屬于集合A？并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；

（2）對(duì)于（1）中你認(rèn)為屬于集合A的函數(shù)，不等式

是否對(duì)于任意的恒成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。

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甲商場(chǎng)：顧客轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示轉(zhuǎn)盤(pán)，當(dāng)指針指向陰影部分（圖中兩個(gè)陰影部分均為扇形，且每個(gè)扇形圓心角均為，邊界忽略不計(jì)）即為中獎(jiǎng)．

乙商場(chǎng)：從裝有4個(gè)白球，4個(gè)紅球和4個(gè)籃球的盒子中一次性摸出3球（這些球初顏色外完全相同），如果摸到的是3個(gè)不同顏色的球，即為中獎(jiǎng)．

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（Ⅱ）記在乙商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)該商品的顧客摸到籃球的個(gè)數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．

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