Question

5．在某次水下考古活動中，需要潛水員潛入水深為30米的水底進行作業(yè)．其用氧量包含3個方面：①下潛時，平均速度為v（米/單位時間），單位時間內用氧量為cv²（c為正常數(shù)）；②在水底作業(yè)需5個單位時間，每個單位時間用氧量為0.4；③返回水面時，平均速度為$\frac{v}{2}$（米/單位時間），單位時間用氧量為0.2．記該潛水員在此次考古活動中，總用氧量為y．
（1）將y表示為v的函數(shù)；
（2）設0＜v≤5，試確定下潛速度v，使總的用氧量最小，并求y的最小值．

Answer 1

分析 （1）分別計算潛入水底用時、用氧量；水底作業(yè)時用氧量；返回水面用時、用氧量，即可得到總用氧量的函數(shù)；
（2）利用基本不等式可得v=$\sqrt{\frac{2}{5c}}$時取等號，再結合0＜v≤5，即可求得確定下潛速度v，使總的用氧量最少．

解答 解：（1）潛入水底用時$\frac{30}{v}$，用氧量為$\frac{30}{v}$•cv²=30cv，
水底作業(yè)時用氧量為5×0.4=2，
返回水面用時$\frac{60}{v}$，用氧量為$\frac{60}{v}$•0.2=$\frac{12}{v}$，
∴總用氧量y=30cv+2+$\frac{12}{v}$（v＞0）；
（2）y=30cv+2+$\frac{12}{v}$≥2+2$\sqrt{30cv•\frac{12}{v}}$=2+12$\sqrt{10c}$，
當且僅當30cv=$\frac{12}{v}$，即v=$\sqrt{\frac{2}{5c}}$時取等號
當$\sqrt{\frac{2}{5c}}$≤5，即c≥$\frac{2}{125}$時，v=$\sqrt{\frac{2}{5c}}$時，
y的最小值為2+12$\sqrt{10c}$，
當$\sqrt{\frac{2}{5c}}$＞5，即c＜$\frac{2}{125}$時，y′=$\frac{30c{v}^{2}-12}{{v}^{2}}$＜0，
∴函數(shù)在（0，5]上為減函數(shù)，
∴v=5時，y的最小值為150c+$\frac{22}{5}$．
綜上，當c≥$\frac{2}{125}$時，下潛速度為v=$\sqrt{\frac{2}{5c}}$時，用氧量最小值為2+12$\sqrt{10c}$；
當c＜$\frac{2}{125}$時，下潛速度為5時，用氧量最小值為150c+$\frac{22}{5}$．

點評 本題考查函數(shù)最值的求法，考查基本不等式的運用，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．