Question

5．在某次水下考古活動(dòng)中，需要潛水員潛入水深為30米的水底進(jìn)行作業(yè)．其用氧量包含3個(gè)方面：①下潛時(shí)，平均速度為v（米/單位時(shí)間），單位時(shí)間內(nèi)用氧量為cv²（c為正常數(shù)）；②在水底作業(yè)需5個(gè)單位時(shí)間，每個(gè)單位時(shí)間用氧量為0.4；③返回水面時(shí)，平均速度為$\frac{v}{2}$（米/單位時(shí)間），單位時(shí)間用氧量為0.2．記該潛水員在此次考古活動(dòng)中，總用氧量為y．
（1）將y表示為v的函數(shù)；
（2）設(shè)0＜v≤5，試確定下潛速度v，使總的用氧量最小，并求y的最小值．

Answer 1

分析 （1）分別計(jì)算潛入水底用時(shí)、用氧量；水底作業(yè)時(shí)用氧量；返回水面用時(shí)、用氧量，即可得到總用氧量的函數(shù)；
（2）利用基本不等式可得v=$\sqrt{\frac{2}{5c}}$時(shí)取等號，再結(jié)合0＜v≤5，即可求得確定下潛速度v，使總的用氧量最少．

解答 解：（1）潛入水底用時(shí)$\frac{30}{v}$，用氧量為$\frac{30}{v}$•cv²=30cv，
水底作業(yè)時(shí)用氧量為5×0.4=2，
返回水面用時(shí)$\frac{60}{v}$，用氧量為$\frac{60}{v}$•0.2=$\frac{12}{v}$，
∴總用氧量y=30cv+2+$\frac{12}{v}$（v＞0）；
（2）y=30cv+2+$\frac{12}{v}$≥2+2$\sqrt{30cv•\frac{12}{v}}$=2+12$\sqrt{10c}$，
當(dāng)且僅當(dāng)30cv=$\frac{12}{v}$，即v=$\sqrt{\frac{2}{5c}}$時(shí)取等號
當(dāng)$\sqrt{\frac{2}{5c}}$≤5，即c≥$\frac{2}{125}$時(shí)，v=$\sqrt{\frac{2}{5c}}$時(shí)，
y的最小值為2+12$\sqrt{10c}$，
當(dāng)$\sqrt{\frac{2}{5c}}$＞5，即c＜$\frac{2}{125}$時(shí)，y′=$\frac{30c{v}^{2}-12}{{v}^{2}}$＜0，
∴函數(shù)在（0，5]上為減函數(shù)，
∴v=5時(shí)，y的最小值為150c+$\frac{22}{5}$．
綜上，當(dāng)c≥$\frac{2}{125}$時(shí)，下潛速度為v=$\sqrt{\frac{2}{5c}}$時(shí)，用氧量最小值為2+12$\sqrt{10c}$；
當(dāng)c＜$\frac{2}{125}$時(shí)，下潛速度為5時(shí)，用氧量最小值為150c+$\frac{22}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)最值的求法，考查基本不等式的運(yùn)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．