Question

10．給出下列命題：
①存在實數(shù)α，使sinα•cosα=1；
②函數(shù)f（x）=sin²x-$\frac{1}{2}$（x∈R）是偶函數(shù)；
③x=$\frac{π}{8}$是函數(shù)y=$sin（2x+\frac{5}{4}π）$的一條對稱軸的方程；
④若α、β是第一象限的角，且α＞β，則sinα＞sinβ．
其中正確命題的序號是②③．

Answer 1

分析 ①根據(jù)二倍角正弦公式sin2α=2sinαcosα進行判斷；
②直接利用偶函數(shù)的定義加以判斷；
③把x=$\frac{π}{8}$代入函數(shù)y=sin（2x+$\frac{5π}{4}$）進行判斷；
④通過舉出反例，得到⑤不正確．

解答 解：①∵sinα•cosα=$\frac{1}{2}$sin2α=1，∴sin2α=2，此式錯誤，故①錯誤；
②對于函數(shù)f（x）=sin²x-$\frac{1}{2}$（x∈R），有f（-x）=$si{n}^{2}（-x）-\frac{1}{2}=si{n}^{2}x-\frac{1}{2}$，函數(shù)為偶函數(shù)，②正確；
③把x=$\frac{π}{8}$代入y=sin（2x+$\frac{5π}{4}$）=sin（2×$\frac{π}{8}+\frac{5π}{4}$）=sin$\frac{3π}{2}$=-1，∴x=$\frac{π}{8}$為y的一條對稱軸；故③正確；
對于④，當α=$\frac{13π}{6}$、β=$\frac{π}{3}$時，都是第一象限的角，且α＞β，
但sinα=$\frac{1}{2}$＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sinβ，故④不正確．
∴正確的命題是②③．
故答案為：②③．

點評 本題以命題真假的判斷為載體，考查了二倍角的正弦公式、三角函數(shù)的奇偶性和圖象的對稱軸等知識，屬于中檔題．