13.函數(shù)f(x)=$\frac{x-{x}^{3}}{(1+{x}^{2})^{2}}$的值域為[-$\frac{1}{4}$,$\frac{1}{4}$].

分析 求導(dǎo)f′(x)=$\frac{(1-3{x}^{2})({x}^{2}+1)^{2}-(x-{x}^{3})2({x}^{2}+1)2x}{({x}^{2}+1)^{4}}$,從而確定函數(shù)的駐點,從而求函數(shù)的值域.

解答 解:∵f(x)=$\frac{x-{x}^{3}}{(1+{x}^{2})^{2}}$,

∴f′(x)=$\frac{(1-3{x}^{2})({x}^{2}+1)^{2}-(x-{x}^{3})2({x}^{2}+1)2x}{({x}^{2}+1)^{4}}$,
令f′(x)=0得(3x2-1)(x2+1)2-(x3-x)•2•(x2+1)•2x=0,
∴(3x2-1)(x2+1)-4x2(x2-1)=0,
整理可得x4-6x2+1=0,
解得x1=1+$\sqrt{2}$,x2=$\sqrt{2}$-1,x3=-1-$\sqrt{2}$,x4=1-$\sqrt{2}$,
∴f(x1)=-$\frac{1}{4}$,f(x2)=$\frac{1}{4}$,f(x3)=$\frac{1}{4}$,f(x4)=-$\frac{1}{4}$,
∴函數(shù)f(x)=$\frac{x-{x}^{3}}{(1+{x}^{2})^{2}}$的值域為[-$\frac{1}{4}$,$\frac{1}{4}$];
故答案為:[-$\frac{1}{4}$,$\frac{1}{4}$].

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.

練習(xí)冊系列答案
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