Question

【題目】求最小的正整數(shù)，使得當(dāng)正整數(shù)點(diǎn)時(shí)，在前個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的集合中，對(duì)任意總存在另一個(gè)數(shù)且，滿足為平方數(shù)．

Answer 1

【答案】7

【解析】

易知當(dāng)時(shí)，在中，數(shù)2與其他任何數(shù)之和皆不是平方數(shù)；

以下證明，的最小值為7．

如果正整數(shù)、滿足：平方數(shù)，就稱是一個(gè)“平方對(duì)”，

顯然在中，，，，為平方對(duì)．

在中增加了平方對(duì)；

在中平加了平方對(duì)．

以下采用歸納法，稱滿足題中條件的為具有性質(zhì)；簡(jiǎn)記為．

據(jù)以上知，當(dāng)時(shí)，均有．

設(shè)已證得，當(dāng)時(shí)，皆有，今考慮情況，利用歸納假設(shè)，只需證，當(dāng)，其中時(shí)，均有．

首先，在，即時(shí)，構(gòu)成平方對(duì)，

這是由于，

而由，知，即．

在時(shí)，構(gòu)成平方對(duì)，

這是由于，

而，所以．

因此對(duì)于滿足的每個(gè)，皆有，

從而對(duì)所有滿足的正整數(shù)，皆有，

即對(duì)一切正整數(shù)，均有．所以的最小值為7．