Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若，求函數(shù)的最大值；

（2）令，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）若，正實數(shù)滿足，證明：

Answer 1

【答案】（1）的最大值為；（2）當(dāng)時，函數(shù)的遞增區(qū)間是，無遞減區(qū)間，當(dāng)時，函數(shù)的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是；（3）證明見解析.

【解析】

試題對于問題（１）根據(jù)條件先求出的值，再對求導(dǎo)，并判斷其單調(diào)性，進而得出函數(shù)的最大值；對于問題（2），首先對進行求導(dǎo)，然后再對參數(shù)進行分類討論，即可得出不同情況下的單調(diào)區(qū)間；對于問題（3）可通過構(gòu)造函數(shù)并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性將問題進行等價轉(zhuǎn)化，從而間接證明所需證明的結(jié)論.

試題解析：（１）因為，所以，此時，，

由，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

故當(dāng)時函數(shù)有極大值，也是最大值，所以的最大值為

（2），

所以．

當(dāng)時，因為，所以．

所以在上是遞增函數(shù)，

當(dāng)時，，

令，得，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，

因此函數(shù)在是增函數(shù)，在是減函數(shù)．

綜上，當(dāng)時，函數(shù)的遞增區(qū)間是，無遞減區(qū)間；

當(dāng)時，函數(shù)的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是

（3）當(dāng)，．

由，即，

從而

令，則由得，．

可知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，

所以，因為，

因此成立