Question

如果項數(shù)均為的兩個數(shù)列滿足且集合，則稱數(shù)列是一對“項相關數(shù)列”．
(Ⅰ)設是一對“4項相關數(shù)列”，求和的值，并寫出一對“項
關數(shù)列”；
(Ⅱ)是否存在“項相關數(shù)列”？若存在，試寫出一對；若不存在，請說明理由；
(Ⅲ)對于確定的，若存在“項相關數(shù)列”，試證明符合條件的“項相關數(shù)列”有偶數(shù)對．

Answer 1

(Ⅰ)；；：8，4，6，5；：7，2，3，1；(Ⅱ)不存在，理由見解析；(Ⅲ)證明見解析.

解析試題分析：(Ⅰ)依題意有，，以及，求得以及的值，寫出符合條件的數(shù)列即可，答案不唯一；(Ⅱ)先假設存在，利用反證法證明得出矛盾，即可證明滿足已知條件的“10項相關數(shù)列”不存在.依題意有，以及成立，解出與已知矛盾，即證；(Ⅲ)對于確定的，任取一對“項相關數(shù)列”，構造新數(shù)對，
，則可證明新數(shù)對也是“項相關數(shù)列”，但是數(shù)列與是不同的數(shù)列，可知“項相關數(shù)列”都是成對對應出現(xiàn)的，即符合條件的 “項相關數(shù)列”有偶數(shù)對.
試題解析：(Ⅰ)依題意，，相加得，
，又，
則，.
“4項相關數(shù)列”：8，4，6，5；：7，2，3，1（不唯一）    4分
(Ⅱ)不存在．
理由如下：假設存在“10項相關數(shù)列”，
則，
相加得
．
又由已知，
所以 ，顯然不可能，所以假設不成立．
從而不存在 “10項相關數(shù)列”．                      8分
(Ⅲ)對于確定的，任取一對 “項相關數(shù)列”，
令，，
（先證也必為 “項相關數(shù)列”）
因為
又因為，
很顯然有，
所以也必為 “項相關數(shù)列”．
（再證數(shù)列與是不同的數(shù)列）
假設與相同，則的第二項，又，則，即，顯然矛盾．
從而，符合條件的 “項相關數(shù)列”有偶數(shù)對．                   13分
考點：1.等差數(shù)列的前項和公式；2.反證法及其應用