如果項數(shù)均為的兩個數(shù)列
滿足
且集合
,則稱數(shù)列
是一對“
項相關(guān)數(shù)列”.
(Ⅰ)設(shè)是一對“4項相關(guān)數(shù)列”,求
和
的值,并寫出一對“
項
關(guān)數(shù)列”;
(Ⅱ)是否存在“項相關(guān)數(shù)列”
?若存在,試寫出一對
;若不存在,請說明理由;
(Ⅲ)對于確定的,若存在“
項相關(guān)數(shù)列”,試證明符合條件的“
項相關(guān)數(shù)列”有偶數(shù)對.
(Ⅰ);
;
:8,4,6,5;
:7,2,3,1;(Ⅱ)不存在,理由見解析;(Ⅲ)證明見解析.
解析試題分析:(Ⅰ)依題意有,,以及
,求得
以及
的值,寫出符合條件的數(shù)列即可,答案不唯一;(Ⅱ)先假設(shè)存在,利用反證法證明得出矛盾,即可證明滿足已知條件的“10項相關(guān)數(shù)列”不存在.依題意有
,以及
成立,解出
與已知矛盾,即證;(Ⅲ)對于確定的
,任取一對“
項相關(guān)數(shù)列”
,構(gòu)造新數(shù)對
,
,則可證明新數(shù)對也是“
項相關(guān)數(shù)列”,但是數(shù)列
與
是不同的數(shù)列,可知“
項相關(guān)數(shù)列”都是成對對應(yīng)出現(xiàn)的,即符合條件的 “
項相關(guān)數(shù)列”有偶數(shù)對.
試題解析:(Ⅰ)依題意,,相加得,
,又
,
則,
.
“4項相關(guān)數(shù)列”:8,4,6,5;
:7,2,3,1(不唯一) 4分
(Ⅱ)不存在.
理由如下:假設(shè)存在“10項相關(guān)數(shù)列”,
則,
相加得.
又由已知,
所以 ,顯然不可能,所以假設(shè)不成立.
從而不存在 “10項相關(guān)數(shù)列”. 8分
(Ⅲ)對于確定的,任取一對 “
項相關(guān)數(shù)列”
,
令,
,
(先證也必為 “
項相關(guān)數(shù)列”)
因為
又因為,
很顯然有,
所以也必為 “
項相關(guān)數(shù)列”.
(再證數(shù)列與
是不同的數(shù)列)
假設(shè)與
相同,則
的第二項
,又
,則
,即
,顯然矛盾.
從而,符合條件的 “項相關(guān)數(shù)列”有偶數(shù)對. 13分
考點(diǎn):1.等差數(shù)列的前項和公式;2.反證法及其應(yīng)用
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列的通項公式為
,在等差數(shù)列數(shù)列
中,
,且
,又
、
、
成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)求數(shù)列的前
項和
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知為等差數(shù)列,且
.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式及其前
項和
;
(Ⅱ)若數(shù)列滿足
求數(shù)列
的通項公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知等差數(shù)列的前
項和為
,公差
,且
,
成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)設(shè)是首項為1公比為3 的等比數(shù)列,求數(shù)列
前
項和
.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知等差數(shù)列的首項
,公差
.且
分別是等比數(shù)列
的
.
(Ⅰ)求數(shù)列與
的通項公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列對任意自然數(shù)
均有
成立,求
的值.
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