Question

【題目】一動(dòng)圓與定圓外切，同時(shí)和圓內(nèi)切，定點(diǎn)A（1,1）.

（1）求動(dòng)圓圓心P的軌跡E的方程，并說(shuō)明是何種曲線(xiàn)；

（2）M為E上任意一點(diǎn)， F為E的左焦點(diǎn)，試求的最小值；

（3）試求的取值范圍；

Answer 1

【答案】(1) ；（2）13；（3）

【解析】

（1）求出兩個(gè)圓的圓心與半徑，設(shè)出動(dòng)圓的圓心與半徑，判斷動(dòng)圓的圓心軌跡，推出結(jié)果即可；

（2）利用橢圓的第二定義則=e=將|AM|+2|MF|轉(zhuǎn)化為|AM|+|MN|，當(dāng)A，M，N同時(shí)在垂直于左準(zhǔn)線(xiàn)的一條直線(xiàn)上時(shí)，|AM|+2|MF|取得最小值；

（3）橢圓右焦點(diǎn)設(shè)為F1，連接MF1．利用橢圓的定義以及在三角形中，兩邊之差總小于第三邊，當(dāng)A、M、F1成一直線(xiàn)時(shí)，|MA|﹣|MF1|最大，求解即可，利用|MA|+|MF2|=|MA|+12﹣|MF1|=12﹣（|MF1|﹣|MA|）≥12﹣|AF1|，即可得出其最小值．

（1）圓x2+y2+6x+5=0的圓心為A（﹣3，0），半徑為2；

圓x2+y2﹣6x﹣91=0的圓心為B（3，0），半徑為10；

設(shè)動(dòng)圓圓心為M（x，y），半徑為x；

則MA=2+r，MB=10﹣r；

于是MA+MB=12＞AB=6

所以，動(dòng)圓圓心M的軌跡是以A（﹣3，0），B（3，0）為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為12的橢圓．

a=6，c=3，b2=a2﹣c2=27；

所以M的軌跡方程為

（2）顯然橢圓的a=6，c=3，e=，記點(diǎn)M到左準(zhǔn)線(xiàn)的距離為|MN|，

則=e=，|MN|=2|MF|，即|AM|+2|MF|=|AM|+|MN|，

當(dāng)A，M，N同時(shí)在垂直于左準(zhǔn)線(xiàn)的一條直線(xiàn)上時(shí)，|AM|+2|MF|取得最小值，

即A點(diǎn)到左準(zhǔn)線(xiàn)的距離1+．

（3）橢圓右焦點(diǎn)設(shè)為F1（3，0），連接MF1．

|MA|+|MF|=|MA|+2a﹣|MF1|=12+|MA|﹣|MF1|．

即|MA|﹣|MF1|最大時(shí)，|MA|+|MF|最大．

在△AMF1中，兩邊之差總小于第三邊，所以當(dāng)A、M、F1成一直線(xiàn)時(shí)，|MA|﹣|MF1|最大，

|MA|﹣|MF1|=|AF1|=．

所以|MA|+|MF|的最大值是．

∵|AF1|==．

|MA|+|MF|=|MA|+10﹣|MF1|=12﹣（|MF1|﹣|MA|）≥12﹣|AF1|=12﹣，

其最小值為12﹣．

∴的取值范圍