已知拋物線y2=2px（p＞0）有一內(nèi)接直角三角形，直角頂點(diǎn)在原點(diǎn)，一直角邊的方程是y=2x，斜邊長為5
13
，求此拋物線的方程．
分析：不妨設(shè)已知直角三角形為OAB，直線OA的方程為y=2x，由題意可知OA⊥OB，從而有KOB=-
1
KOA
，則可求直線OB的方程，聯(lián)立方程
y=2x
y2=2px
可求A的坐標(biāo)，進(jìn)而可求AO，同理可求OB，由勾股定理可得，AB2=OA2+OB2，代入可求P，進(jìn)而可求拋物線的方程
解答：解：不妨設(shè)已知直角三角形為OAB，直線OA的方程為y=2x
∵∠AOB=90°即OA⊥OB，
∴KOB=-
1
KOA
=-
1
2
，直線OB的方程為y=-
1
2
x
聯(lián)立方程
y=2x
y2=2px
可得2x2-px=0
∴xA=
p
2
，yA=p
同理可得xB=8p，yB=-4p
∵斜邊AB=5
13

由勾股定理可得，AB2=OA2+OB2=325
∴325=(
p
2
)2+p2+64p2+16p2
∵p＞0
∴p=2
∴拋物線的方程為y2=4x
點(diǎn)評：本題主要考察了直線與拋物線的相交關(guān)系及方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，解題中的關(guān)鍵是由直線的垂直關(guān)系得到直線OB的斜率．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線y2=2px（p＞0）．過動點(diǎn)M（a，0）且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，|AB|≤2p．
（1）求a的取值范圍；
（2）若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N，求△NAB面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l．
（1）求拋物線上任意一點(diǎn)Q到定點(diǎn)N（2p，0）的最近距離；
（2）過點(diǎn)F作一直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，并在準(zhǔn)線l上任取一點(diǎn)M，當(dāng)M不在x軸上時(shí)，證明：
kMA+kMBkMF
是一個(gè)定值，并求出這個(gè)值．（其中kMA，kMB，kMF分別表示直線MA，MB，MF的斜率）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線y2=2px（p＞0）．過動點(diǎn)M（a，0）且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，|AB|≤2p．求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•聊城一模）已知拋物線y2=2px（p＞0），過點(diǎn)M（2p，0）的直線與拋物線相交于A，B，
OA
•
OB
=
0
0
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線y2=2px（p＞0），M（2p，0），A、B是拋物線上的兩點(diǎn)．求證：直線AB經(jīng)過點(diǎn)M的充要條件是OA⊥OB，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)．

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