Question

設(shè)

a

=（cosx，-1），

b

=（sinx-cosx，-1），函數(shù)f（x）=

a

•

b

-

1

2

（1）用五點作圖法畫出函數(shù)f（x）在一個周期上的圖象；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間和對稱中心的坐標；
（3）求不等式f（x）≥

1

2

的解集； 
（4）如何由y=

2

2

sinx的圖象變換得到f（x）的圖象．

Answer 1

考點：五點法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象,平面向量數(shù)量積的運算,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：作圖題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）運用向量的數(shù)量積的坐標表示和二倍角公式及兩角差的正弦公式，化簡f（x），再由五點法畫圖步驟，即可得到一個周期內(nèi)的圖象；
（2）由圖象求得一個周期內(nèi)的單調(diào)減區(qū)間和對稱中心，再由周期即可得到；
（3）可令

π

4

+2kπ≤2x-

π

4

≤

3π

4

+2kπ，解不等式即可得到解集；
（4）運用圖象變換的特點，先相位變換，再周期變換，即可得到．

解答： 解：（1）由

a

=（cosx，-1），

b

=（sinx-cosx，-1），
則函數(shù)f（x）=

a

•

b

-

1

2

=cosx（sinx-cosx）+1-

1

2

=sinxcosx-cos²x+

1

2

═

1

2

sin2x-

1

2

cos2x=

2

2

sin（2x-

π

4

）．
列表如下：

2x- π 4	0	π 2	π	3π 2	2π
x	π 8	3π 8	5π 8	7π 8	9π 8
f（x）	0	2 2	0	- 2 2	0

描點畫出函數(shù)f（x）在一個周期上的圖象，如圖所示：
（2）由圖象可得[

π

8

，

9π

8

]內(nèi)的減區(qū)間為[

3π

8

，

7π

8

]
則函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

3π

8

，kπ+

7π

8

]（k∈Z）；
由2x-

π

4

=kπ（k∈Z），可得x=

kπ

2

+

π

8

，
即有對稱中心的坐標為（

kπ

2

+

π

8

，0）．
（3）不等式f（x）≥

1

2

即為sin（2x-

π

4

）≥

2

2

，
即有

π

4

+2kπ≤2x-

π

4

≤

3π

4

+2kπ，（k∈Z），可得

π

4

+kπ≤x≤kπ+

π

2

，
則解集為{x|

π

4

+kπ≤x≤kπ+

π

2

}（k∈Z）；
（4）先將y=

2

2

sinx的圖象向右平移

π

4

個單位，可得y=

2

2

sin（x-

π

4

）的圖象，
再將所有的點的橫坐標縮小到原來的一半（縱坐標不變），可得y=

2

2

sin（2x-

π

4

）的圖象．

點評：本題考查向量的數(shù)量積的坐標表示，主要考查三角函數(shù)的恒等變換和五點法畫圖及正弦函數(shù)的圖象變換，由圖象求得單調(diào)減區(qū)間和對稱中心以及不等式的解集是解題的關(guān)鍵．