Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（1）求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）若對一切x∈（0，+∞），都有f（x）≤x²-ax+2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）試判斷函數(shù)y=lnx-

1

ex

+

2

ex

是否有零點？若有，求出零點的個數(shù)；若無，請說明理由．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)恒成立問題

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，由導函數(shù)的零點對函數(shù)定義域分段，判斷導函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號，從而得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由增減性得到極小值，也就是最小值；
（2）把f（x）的解析式代入f（x）≤x²-ax+2，分離參數(shù)a后構(gòu)造輔助函數(shù)g(x)=x-lnx+

2

x

，求出該函數(shù)的最小值，則參數(shù)a的取值范圍可求；
（3）把函數(shù)y=lnx-

1

ex

+

2

ex

對應的方程轉(zhuǎn)化為xlnx=

x

ex

-

2

e

，由（1）知左邊函數(shù)的最小值，利用導數(shù)求得右邊函數(shù)的最大值，可知右邊函數(shù)的最大值小于左邊函數(shù)的最小值，從而說明函數(shù)y=lnx-

1

ex

+

2

ex

沒有零點．

解答： 解：（1）f（x）=xlnx的定義域為（0，+∞），f'（x）=lnx+1，
故x∈（0，

1

e

）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
x∈(

1

e

，+∞)時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
∴x=

1

e

時，f（x）取得最小值f(

1

e

)=-

1

e

；
（2）由f（x）≤x²-ax+2得：xlnx≤x²-ax+2，
∵x＞0，∴a≤x-lnx+

2

x

，
令g(x)=x-lnx+

2

x

，
g′(x)=1-

1

x

-

2

x2

=

x2-x-2

x2

=

(x-2)(x+1)

x2

(x＞0)，
當x∈（0，2）時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；
當x∈（2，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增；
∴[g（x）]_min=g（2）=3-ln2，
∵對一切x∈（0，+∞），都有a≤x-lnx+

2

x

恒成立，
∴a∈（-∞，3-ln2]；
（3）令lnx-

1

ex

+

2

ex

=0，則xlnx=

x

ex

-

2

e

，即f(x)=

x

ex

-

2

e

，
由（1）知當x∈（0，+∞）時，f(x)min=f(

1

e

)=-

1

e

，
設h(x)=

x

ex

-

2

e

(x＞0)，則h′(x)=

1-x

ex

，
當x∈（0，1）時，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，
當x∈（1，+∞）時，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減．
∴h(x)max=h(1)=-

1

e

．
∴對一切x∈（0，+∞），f（x）＞h（x），即lnx-

1

ex

+

2

ex

＞0．
∴函數(shù)y=lnx-

1

ex

+

2

ex

沒有零點．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，訓練了利用分離變量法求解恒成立問題中的參數(shù)范圍問題，體現(xiàn)了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，解答（2）的關(guān)鍵在于把函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題，是高考試卷中的壓軸題．