Question

函數(shù)f_n（x）=xⁿ+bx+c（n∈Z，b，c∈R）．
（1）若n=-1，函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（2）設(shè)n=2，若對(duì)任意x₁，x₂∈[-1，1]，|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）若n=-1，根據(jù)函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，利用定義法建立條件關(guān)系，即可求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（2）根據(jù)]，|f₂（x）-f₂（x）|≤4恒成立，只要求出函數(shù)f（x）在∈[-1，1]上的最大值和最小值即可．

解答： 解：（1）n=-1時(shí)，f(x)=

1

x

+bx+c
任設(shè)x₁＞x₂≥2，f(x1)-f(x2)=

1

x1

+bx1+c-(

1

x2

+bx2+c)=

(x1-x2)(bx1x2-1)

x1x2

，
∵x₁＞x₂≥2，
∴x₁-x₂＞0，x₁x₂＞0，
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在[2，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，故恒有f（x₁）＞f（x₂），
從而恒有bx₁x₂-1＞0，即恒有b＞

1

x1x2

，
當(dāng)x₁＞x₂≥2時(shí)，x₁x₂＞4，
∴

1

x1x2

＜

1

4

，
∴b≥

1

4

．
（2）當(dāng)n=2時(shí)f2(x)=x2+bx+c
對(duì)任意x₁，x₂∈[-1，1]有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4恒成立等價(jià)于f₂（x）在[-1，1]上的最大值與最小值之差M≤4，
當(dāng)-

b

2

＜-1，即b＞2時(shí)，f₂（x）在x∈[-1，1]上單調(diào)遞增，
∴f₂（x）_min=f₂（-1）=1-b+c，f₂（x）_max=f₂（1）=1+b+c，
∴M=2b＞4，與題設(shè)矛盾；
當(dāng)-1≤-

b

2

≤0，即0≤b≤2時(shí)，f₂（x）在x∈[-1，-

b

2

]上單調(diào)遞減，在x∈[-

b

2

，1]上單調(diào)遞增，
∴f2(x)min=f2(-

b

2

)=-

b2

4

+c，f₂（x）_max=f₂（1）=1+b+c，
∴M=(

b

2

+1)2≤4恒成立，
∴0≤b≤2；
當(dāng)0＜-

b

2

≤1，即-2≤b＜0時(shí)，f₂（x）在x∈[-1，-

b

2

]上單調(diào)遞減，在x∈[-

b

2

，1]上單調(diào)遞增，
∴f2(x)min=f2(-

b

2

)=-

b2

4

+c，f₂（x）_max=f₂（-1）=1-b+c，
即M=(

b

2

-1)2≤4恒成立，
∴-2≤b＜0；
當(dāng)-

b

2

＞1，即b＜-2時(shí)，f₂（x）在x∈[-1，1]上單調(diào)遞減，
∴f₂（x）_min=f₂（1）=1+b+c，f₂（x）_max=f₂（-1）=1-b+c，
∴M=-2b＞4，與題設(shè)矛盾．
綜上所述，實(shí)數(shù)b的取值范圍是-2≤b≤2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值和最小值是解決本題的根據(jù)，考查學(xué)生的計(jì)算能力．