Question

已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程是

x= 2 2 t y= 2 2 t+4 2

（t是參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)，曲線C的極坐標(biāo)方程ρ=2cos(θ+

π

4

)．
（Ⅰ）判斷直線l與曲線C的位置關(guān)系；
（Ⅱ）設(shè)M為曲線C上任意一點(diǎn)，求x+y的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程,參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）由直線的參數(shù)方程消去t得直線的直角坐標(biāo)方程，化圓的極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程，再由圓心到直線的距離與圓的半徑的關(guān)系得到直線與圓的位置關(guān)系；
（Ⅱ）設(shè)出曲線C上的點(diǎn)的參數(shù)方程，由x+y=sinθ+cosθ，利用兩角和的正弦化簡(jiǎn)后可得x+y的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由

x= 2 2 t y= 2 2 t+4 2

，消去t得：y=x+4

2

．
由ρ=2cos(θ+

π

4

)，得ρ=2cosθcos

π

4

-2sinθsin

π

4

，即ρ=

2

cosθ-

2

sinθ，
∴ρ2=

2

ρcosθ-

2

ρsinθ，即x2-

2

x+y2+

2

y=0．
化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：(x-

2

2

)2+(y+

2

2

)2=1．
圓心坐標(biāo)為(

2

2

，-

2

2

)，半徑為1，圓心到直線x-y+4

2

=0的距離d=

| 2 2 + 2 2 +4 2 |

2

=5＞1．
∴直線l與曲線C相離；
（Ⅱ）由M為曲線C上任意一點(diǎn)，可設(shè)

x= 2 2 +cosθ y=- 2 2 +sinθ

，
則x+y=sinθ+cosθ=

2

sin(θ+

π

4

)，
∴x+y的取值范圍是[-

2

，

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程，考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，考查了由點(diǎn)到直線的距離判斷直線和圓的位置關(guān)系，訓(xùn)練了圓的參數(shù)方程的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．