Question

用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n為整數(shù)時(shí)，1+2+2²+…+2^n-1=2ⁿ-1．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，去證明等式成立；（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等時(shí)成立，用上歸納假設(shè)后，去證明當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立即可．

解答： 證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=2¹-1=1，
∴等式成立…2分
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等時(shí)成立，即1+2+2²+…+2^k-1=2^k-1…4分
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，1+2+2²+…+2^k-1+2^k=2^k-1+2^k…6分
=2×2^k-1
=2^k+1-1…8分
這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立…9分
根據(jù)（1）和（2），可知對(duì)n∈N^*等式成立…10分

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法，用好歸納假設(shè)是關(guān)鍵，考查邏輯推理與證明的能力，屬于中檔題．