Question

已知函數f（x）=

3

sinxcosx-cos²x+

1

2

（1）求f（x）的單調遞增區(qū)間
（2）求f（x）在區(qū)間][0，

π

2

]上的值域．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,正弦函數的圖象

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（1）直接利用三角函數的恒等變換，把三角函數變形成正弦型函數．進一步求出函數的單調區(qū)間．
（2）直接利用三角函數的定義域求出函數的值域．

解答： 解：（1）f（x）=

3

sinxcosx-cos²x+

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x
=sin（2x-

π

6

）
令：2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
解得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

（k∈Z）
∴f（x）的單調遞增區(qū)間為：[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）
（2）∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴-

1

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1，
∴f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的值域為：[-

1

2

，1]．

點評：本題考查的知識要點：三角函數關系式的恒等變換，正弦型函數的單調性的應用，利用函數的定義域求三角函數的值域．屬于基礎題型．