Question

求直線x=1，x=2，y=0與曲線y=x²+2x+1圍成曲邊梯形的面積．（要求：用分割，近似代替，求和，取極限等方法解答）

Answer 1

考點(diǎn)：定積分

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：利用以“直”代“曲”無(wú)限逼近的方法求曲邊梯形的面積的步驟的四部曲即可得出．

解答： 解：（1）分割：
將區(qū)間[1，2]分為n等份，得到n個(gè)小的曲邊梯形，曲邊梯形的長(zhǎng)為

1

n

，高是（1+

i

n

）²+2×

i

n

+1，
（2）近似代替：
利用小矩形的面積近似代替曲邊梯形的面積，S≈

1

n

•[(1+

i

n

)2+

2i

n

+1]，
（3）求和：
所以曲邊梯形的面積為

n

i=1

[

1

n

•((1+

i

n

)2+

2i

n

+1)]；
（4）取極限：S=

lim

n→∞

n

i=1

[

1

n

•((1+

i

n

)2+

2i

n

+1)]=6

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了以“直”代“曲”無(wú)限逼近的方法求曲邊梯形的面積的步驟的四部曲，屬于基礎(chǔ)題．