Question

等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S₅=0，S₁₀=50，則nS_n的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知條件求出S_n=n²-5n，從而nS_n=n³-5n²，進(jìn)而(nSn)′=3n²-10n，由(nSn)′=0，得n=0（舍）或n=

10

3

，由此求出nS_n取最小值3S₃=3³-5×3²=-18．

解答： 解：∵等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，
且S₅=0，S₁₀=50，
∴

5a1+ 5×4 2 d=0 10a1+ 10×9 2 d=50

，
解得a₁=-4，d=2，
∴S_n=-4n+

n(n-1)

2

×2=n²-5n，
∴nS_n=n³-5n²，
∴(nSn)′=3n²-10n，
由(nSn)′=0，得n=0（舍）或n=

10

3

，
∵n∈N^*，∴n=3時(shí)，
nS_n取最小值3S₃=3³-5×3²=-18．
故答案為：-18，

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和和項(xiàng)數(shù)n的乘積的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．