Question

14．判斷函數(shù)f（x）=lg（1+x）+lg（1-x）函數(shù)的奇偶性，并求其值域和單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 先求出f（x）的定義域，根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義判斷出f（-x）=f（x），通過求導得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的值域即可．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{1+x＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$，解得：-1＜x＜1，
f（-x）=lg（1-x）+lg（1+x）=f（x），是偶函數(shù)，
f′（x）=$\frac{1}{1+x}$-$\frac{1}{1-x}$=$\frac{-2x}{（1+x）（1-x）}$，
x∈（-1，0）時：f′（x）＞0，x∈（0，1）時：f′（x）＜0，
∴f（x）在（-1，0）遞增，在（0，1）遞減，
∴f（x）_最大值=f（0）=0，
∴f（x）的值域是（-∞，0]．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性問題，考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是一道基礎題．