Question

4．已知函數(shù)f（x）=x²+2ax+b，x∈[-1，1]的最大為M
（I）用a，b表示M：；
（2）若b=a²，且對(duì)任意x∈[0，2π]，sin2x-2x+4≤M，求實(shí)數(shù)a取值范圍．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）=x²+2ax+b的圖象是開口朝上，且以直線x=-a為對(duì)稱軸的拋物線，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，分-a≤0和-a＞0兩種情況討論，可得M的表達(dá)式；
（2）若對(duì)任意x∈[0，2π]，sin2x-2x+4≤M，則M≥4，分-a≤0和-a＞0兩種情況討論，可得實(shí)數(shù)a取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x²+2ax+b的圖象是開口朝上，且以直線x=-a為對(duì)稱軸的拋物線，
若-a≤0，即a≥0，則在區(qū)間[-1，1]上，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取最大值M=2a+b+1，
若-a＞0，即a＜0，則在區(qū)間[-1，1]上，當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)取最大值M=-2a+b+1，
綜上：M=$\left\{\begin{array}{l}-2a+b+1，a＜0\\ 2a+b+1，a≥0\end{array}\right.$，
（2）令h（x）=sin2x-2x，x∈[0，2π]，
則h′（x）=2cos2x-2，x∈[0，2π]，
當(dāng)x∈[0，2π]時(shí)，h′（x）≤0恒成立，
故h（x）在區(qū)間[0，2π]上為減函數(shù)，
當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)取最大值0，
則sin2x-2x+4≥4，
若對(duì)任意x∈[0，2π]，sin2x-2x+4≤M，則M≥4，
又由b=a²，
若-a≤0，即a≥0，則-2a+a²+1≥4，解得：a∈[3，+∞），
若-a＞0，即a＜0，則2a+a²+1≥4，解得：a∈（-∞，-3]．
綜上所述，a∈（-∞，-3]∪[3，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．