如下圖，在三棱錐中，底面，點為以為直徑的圓上任意一動點，且，點是的中點，且交于點.
（1）求證：面；
（2）當時，求二面角的余弦值.

（1）詳見解析；（2）.

解析試題分析：（1）由已知條件平面得到，再由已知條件得到，從而得到平面，進而得到，利用等腰三角形三線合一得到，結(jié)合直線與平面垂直的判定定理得到平面，于是得到，結(jié)合題中已知條件以及直線與平面垂直的判定定理得到平面；（2）以為坐標原點，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用空間向量法求二面角 的余弦值.
（1）證明：底面，，又易知，
平面，，
又，是的中點，，
平面，，
又已知，
平面；
（2）如下圖以為坐標原點，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，由于，

可設(shè)，則，，，，，
，，
設(shè)平面的一個法向量，
則，即，
可得，
由（1）可知為面的法向量，
易求
，
二面角的余弦值是.
考點：1.直線與平面垂直；2.空間向量法求二面角

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面ACC1A1⊥面ABC，AA1=a，A1C=CA=AB=a，AB⊥AC，D為AA1中點.
（1）求證：CD⊥面ABB1A1；
（2）在側(cè)棱BB1上確定一點E，使得二面角E-A1C1-A的大小為.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.

（1）證明：PA⊥BD；
（2）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖所示的幾何體中，面為正方形，面為等腰梯形，，，，且平面平面．
(1)求與平面所成角的正弦值；
(2)線段上是否存在點，使平面平面？
證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐P—ABCD中，PD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=2，PD=，M為棱PB的中點．

(1)證明：DM平面PBC；
(2)求二面角A—DM—C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐的底面是正方形，側(cè)棱底面，過作垂直交于點，作垂直交于點，平面交于點，且，.

（1）設(shè)點是上任一點，試求的最小值；
（2）求證：、在以為直徑的圓上；
（3）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知的直徑，點、為上兩點，且，，為弧的中點．將沿直徑折起，使兩個半圓所在平面互相垂直（如圖2）．

（1）求證：；
（2）在弧上是否存在點，使得平面？若存在，試指出點的位置；若不存在，請說明理由；
（3）求二面角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

在空間直角坐標系中，A，兩點之間的距離為             ．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

三棱柱ABC－A1B1C1在如圖所示的空間直角坐標系中，已知AB＝2，AC＝4，A1A＝3.D是BC的中點．

(1)求直線DB1與平面A1C1D所成角的正弦值；
(2)求二面角B1-A1D-C1的正弦值．

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