多面體ABCDEF的直觀圖及三視圖分別如圖所示,已知點M在AC上,點N在DE上,且AM:MC=DN:NE=a

   (1)求證:MN//平面BCEF;

   (2)當(dāng)a=1時,求二面角D―MN―F的余弦值的絕對值。

           

解:(1)由三視圖可知,該多面體是底面為直角三角形的直三棱柱ABF―DCE。

且AB=BC=AF=2,CE=BF=,∠BAF=90°

在CD上取一點G,DG:GC=DN:NE,連MG、NG。則

∵AM:MC=DN:NE=a,

∴NG//CE,MG//BC。

∴平面MNG//平面BCEF。

∴MN//平面CDEF。

(2)∵a=1

∴M、N分別是AC、CE的中點。

以AB、AF、AD分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系,則有關(guān)各點的坐標分別是D(0,0,2),F(xiàn)(0,2,0),M(1,1),N(0,1,2)

設(shè)平面DMN的法向量

設(shè)平面MNF的法向量為

設(shè)二面角D―MNF的平面角為,

∴二面角D―MN―F的余弦值的絕對值為。

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