如圖正方形ABCD和四邊形ADEF所在的平面垂直,F(xiàn)A⊥AD,DE∥FA,且AD=DE=
12
AF=1
,G是FC的中點.
(1)求證:EG⊥平面ACF;
(2)求多面體ABCDEF的體積.
分析:(1)取AF中點H,連接GH,EH,由正方形ABCD和四邊形ADEF所在的平面垂直,F(xiàn)A⊥AD,DE∥FA,且AD=DE=
1
2
AF=1
,G是FC的中點,得到EH=AH=FH=CD=DE=1,EH⊥AF,ED⊥CD,GH∥AC,CE=EF=AC=
2
,GH=
2
2
,故EG⊥CF,再由EG2+GH2=EH2,知EG⊥GH,由此能夠證明EG⊥平面ACF.
(2)連接FD,則多面體ABCDEF的體積:VABCDEF=VF-CDE+VF-ABCD,由VF-CDE=
1
3
×AD×S△CDE
,VF-ABCD=
1
3
×AF×S正方形ABCD
,能求出多面體ABCDEF的體積.
解答:解:(1)取AF中點H,連接GH,EH,
∵正方形ABCD和四邊形ADEF所在的平面垂直,
FA⊥AD,DE∥FA,且AD=DE=
1
2
AF=1
,G是FC的中點,
∴EH=AH=FH=CD=DE=1,EH⊥AF,ED⊥CD,GH∥AC,
∴CE=EF=AC=
1+1
=
2
,GH=
1
2
AC
=
2
2

∴EG⊥CF,
∵FC=
AF2+AC2
=
4+2
=
6
,
∴EG=
EF2-FG2
=
2-
3
2
=
2
2
,
∵EH=1,∴EG2+GH2=EH2,
∴EG⊥GH,
又∵CF∩GH=G,
∴EG⊥平面ACF.
(2)連接FD,則多面體ABCDEF的體積:
VABCDEF=VF-CDE+VF-ABCD
=
1
3
×AD×S△CDE
+
1
3
×AF×S正方形ABCD

=
1
3
×1×
1
2
×1×1
+
1
3
×2×12

=
1
6
+
2
3

=
5
6
點評:本題考查直線與平面垂直的證明,考查多面體體積的求法,解題時要認真審題,仔細解答,注意中位線、勾股定理、等積法等知識點的合理運用.
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(2)求多面體ABCDEF的體積.

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(1)求證:EG⊥平面ACF;
(2)求多面體ABCDEF的體積.

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