Question

如圖，已知ABCD是邊長為2的正方形，DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，且FB=2DE=2．
（1）求證：平面AEC⊥平面AFC；
（2）求多面體ABCDEF的體積．

Answer 1

分析：（1）以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DE分別為X，Y，Z軸正言論自由建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出各點坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面AEC和平面AFC的法向量的坐標(biāo)，代入向量夾角公式，根據(jù)兩個法向量的數(shù)量積為0，即可得到平面AEC⊥平面AFC；
（2）根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，BC即為平面ABFE上的高，求出△AEF的面積，并將其代入棱錐體積公式，即可得到答案．

解答：解：（1）證明：建立如圖坐標(biāo)系
∴D（0，0，0），E（0，0，1），A（2，0，0），C（0，2，0），F(xiàn)（2，2，2）
∴

AE

=(-2，0，1)，

EC

=(0，2，-1)

AF

=(0，2，2)，

FC

=(-2，0，-2)
設(shè)

m

為面AEC法向量 

m

=(x1，y1，z1)

-2x1+z1=0 2y1-z1=0

⇒

m

=(1，1，2)
設(shè)

n

為面AFC法向量 

n

=(x2，y2，z2)

2y2+2z2=0 -2x2-2z2=0

⇒

n

=(1，1，-1)cos＜

m

•

n

＞=

1+1-2

4 • 3

=0∴

m

⊥

n

．
∴面AEC⊥面AFC．
（2）S_△AEF=

1

2

•AE•EF=

1

2

∵平面ABEF⊥平面ABCD
即BC⊥AB
而平面ABEF∩平面ABCD=AB
∴BC⊥平面ABFE
∴V_C-AEF=

1

3

•S_△AEF•BC=

1

6

點評：本題考查的知識點是棱錐的體積公式，用向量語言表述面面垂直關(guān)系，其中（1）中用向量法證明面面垂直的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)法，（2）中求棱錐的體積，確定底面和高是關(guān)鍵．