Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，；單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）

【解析】

（1）根據(jù)題意，代入，求導，利用導數(shù)的正負求解單調(diào)區(qū)間

（2）根據(jù)題意，對函數(shù)求導，因為存在，使得成立，所以在區(qū)間上存在極值點，轉(zhuǎn)化成在區(qū)間上有解，再轉(zhuǎn)化成有解，令，根據(jù)導數(shù)求解的值域，即可求解參數(shù)取值范圍.

（1）由，

得.

令，則，

解得，，.

當時，，單調(diào)遞減；

當時，，單調(diào)遞增；

當時，，單調(diào)遞減；

當時，，單調(diào)遞增.

綜上，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，；

單調(diào)遞增區(qū)間為，.

（2）由已知可得.

因為存在，使得成立，

所以在區(qū)間上存在極值點，所以在區(qū)間上有解.

所以，即有解.

令，則，

當時，恒成立，

所以在上單調(diào)遞增，所以.

又，，所以，

所以.

即實數(shù)的取值范圍是.