Question

【題目】已知常數(shù)，數(shù)列的前項和為， 且 .

（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；

（2）若 ，且數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若 ，數(shù)列滿足：對于任意給定的正整數(shù) ，是否存在 ，使 ？若存在，求 的值（只要寫出一組即可）；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析

（Ⅱ）

（Ⅲ）， （或 ）

【解析】

（Ⅰ）由題證明（常數(shù)）即可證明數(shù)列是等差數(shù)列；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，結(jié)合題意在對是奇數(shù)和是偶數(shù)分別進行討論得答案．

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，設(shè)對任意正整數(shù)，都存在正整數(shù)，使 ，得，進而得出答案．

（Ⅰ）∵ ∴， ，

∴

化簡得：（常數(shù)），

∴ 數(shù)列是以 為首項，公差為的等差數(shù)列；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，又∵ ， ，

∴ ，∴

①當是奇數(shù)時，∵ ，∴，

令 ，∴

∵

∴ ，且，∴ ；

② 當是偶數(shù)時，∵ ，∴ ，

令 ，∴

∵

∴ ，且，∴ ；

綜上可得：實數(shù)的取值范圍是 ．

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，又∵，

設(shè)對任意正整數(shù)，都存在正整數(shù)，使 ，

∴，∴

令，則 （或 ）

∴ （或）