Question

【題目】已知常數(shù)，數(shù)列的前項(xiàng)和為， 且 .

（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；

（2）若 ，且數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若 ，數(shù)列滿足：對(duì)于任意給定的正整數(shù) ，是否存在 ，使 ？若存在，求 的值（只要寫出一組即可）；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析

（Ⅱ）

（Ⅲ）， （或 ）

【解析】

（Ⅰ）由題證明（常數(shù)）即可證明數(shù)列是等差數(shù)列；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，結(jié)合題意在對(duì)是奇數(shù)和是偶數(shù)分別進(jìn)行討論得答案．

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，設(shè)對(duì)任意正整數(shù)，都存在正整數(shù)，使 ，得，進(jìn)而得出答案．

（Ⅰ）∵ ∴， ，

∴

化簡(jiǎn)得：（常數(shù)），

∴ 數(shù)列是以 為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，又∵ ， ，

∴ ，∴

①當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，∵ ，∴，

令 ，∴

∵

∴ ，且，∴ ；

② 當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，∵ ，∴ ，

令 ，∴

∵

∴ ，且，∴ ；

綜上可得：實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，又∵，

設(shè)對(duì)任意正整數(shù)，都存在正整數(shù)，使 ，

∴，∴

令，則 （或 ）

∴ （或）