【題目】如圖，在直三棱柱中， ， ，點分別為的中點.

（1）證明： 平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）連接， ，點， 分別為， 的中點，可得為 △的一條中位線， ，由線面平行的判定定理可得結論；（2）先利用勾股定理證明，由題意以點 為坐標原點， 為軸， 為 軸， 為 軸建立空間直角坐標系，分別求出平面與平面的一個法向量，根據(jù)空間向量夾角余弦公式，可得結果；

試題解析：（1）證明：連接，，點，分別為， 的中點，所以為△的一條中位線， ，

平面， 平面，

所以平面.

（2）設，則，， ，

由，得，解得，

由題意以點為坐標原點，為軸，為軸，

為軸建立空間直角坐標系.

可得，，，，

故，， ， ，

設為平面的一個法向量，則

，得，同理可得平面的一個法向量為，

設二面角的平面角為，

，

，

所以，二面角的余弦值為.

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理以及利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當?shù)目臻g直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據(jù)定理結論求出相應的角和距離.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中點．
（1）證明：AC1∥平面BDE；
（2）證明：AC1⊥BD．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

極坐標系中， 為極點，半徑為2的圓的圓心坐標為.

（1）求圓的極坐標方程；

（2）設直角坐標系的原點與極點重合， 軸非負關軸與極軸重合，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），由直線上的點向圓引切線，求切線長的最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某市為了解本市2萬名學生的漢字書寫水平，在全市范圍內進行了漢字聽寫考試，現(xiàn)從某校隨機抽取了50名學生，將所得成績整理后，發(fā)現(xiàn)其成績全部介于之間，將其成績按如下分成六組，得到頻數(shù)分布表

成績

人數(shù)

4

10

16

10

6

4

（1）在答題卡上作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖；

（2）估算該校50名學生成績的平均值和中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；

（3）以該校50名學生成績的頻率作為概率，試估計該市分數(shù)在的人數(shù).

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知n為正整數(shù)，數(shù)列{an}滿足an＞0， ，設數(shù)列{bn}滿足
（1）求證：數(shù)列 為等比數(shù)列；
（2）若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，求實數(shù)t的值；
（3）若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，前n項和為Sn ， 對任意的n∈N* ， 均存在m∈N* ， 使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，求滿足條件的所有整數(shù)a1的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知 = ．
（1）求 的值
（2）若cosB= ，b=2，求△ABC的面積S．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】定義：如果函數(shù)f（x）在[a，b]上存在x1 ， x2（a＜x1＜x2＜b）滿足 ， ，則稱函數(shù)f（x）是[a，b]上的“雙中值函數(shù)”．已知函數(shù)f（x）=x3﹣x2+a是[0，a]上的“雙中值函數(shù)”，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A.
B.（ ）
C.（ ，1）
D.（ ，1）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】（本小題滿分16分）如圖，有一個長方形地塊ABCD，邊AB為2km， AD為4 km.，地塊的一角是濕地（圖中陰影部分），其邊緣線AC是以直線AD為對稱軸，以A為頂點的拋物線的一部分.現(xiàn)要鋪設一條過邊緣線AC上一點P的直線型隔離帶EF，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上（隔離帶不能穿越濕地，且占地面積忽略不計）.設點P到邊AD的距離為t（單位:km），△BEF的面積為S（單位: ）.

（1）求S關于t的函數(shù)解析式，并指出該函數(shù)的定義域;

（2）是否存在點P，使隔離出的△BEF面積S超過3 ?并說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1 ， D，E分別是棱BC，CC1上的點（點D 不同于點C），且AD⊥DE，F(xiàn)為B1C1的中點．求證：

（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；
（2）直線A1F∥平面ADE．

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