Question

【題目】已知函數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù).

（1）討論函數(shù)在上的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時，若存在，使得，求實數(shù)的取值范圍.（參考公式：）

Answer 1

【答案】（1）在上單調(diào)遞增；（2）.

【解析】

試題分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負，分為和，可求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）的最大值減去的最小值大于或等于，由單調(diào)性知，的最大值是或，最小值，由的單調(diào)性，判斷與的大小關(guān)系，再由的最大值減去最小值大于或等于求出的取值范圍.

試題解析：（1）.

當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴，

所以，故函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴，

所以，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，

綜上，在上單調(diào)遞增，

（2），因為存在，使得，所以當(dāng)時，.

，

①當(dāng)時，由，可知，∴；

②當(dāng)時，由，可知，∴；

③當(dāng)時，，∴在上遞減，在上遞增，

∴當(dāng)時，，

而，

設(shè)，因為（當(dāng)時取等號），

∴在上單調(diào)遞增，而，

∴當(dāng)時，，∴當(dāng)時，，

∴，

∴，∴，即，

設(shè)，則，

∴函數(shù)在上為增函數(shù)，∴，

既的取值范圍是.