【題目】已知數(shù)列滿足，，，記數(shù)列的前項和為，則對任意，則①數(shù)列單調(diào)遞增；②；③；④．上述四個結(jié)論中正確的是______．（填寫相應(yīng)的序號）

【答案】①②③

【解析】

先證明當(dāng)時，總有，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明，最后再利用導(dǎo)數(shù)及均成立，從而可得正確的選項.

先證明一個性質(zhì)：當(dāng)時，總有(★).

證明：令，其中，

，為上的減函數(shù)，

因，，故在存在唯一的零點(diǎn).

當(dāng)時，；當(dāng)時，，

故在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，

因，故當(dāng)時，總有即，

從而性質(zhì)得證.

令，由已證性質(zhì)則有，

故對任意的恒成立.

以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時，總有

因為，所以成立.

設(shè)當(dāng)時，，因，故即，

所以時，也有成立，

由數(shù)學(xué)歸納法可知：對任意的，總有.

由性質(zhì)★可得即，故數(shù)列單調(diào)遞增，所以①正確.

令，其中.

則，在為減函數(shù)且，

所以在為減函數(shù)，

所以當(dāng)時，有即，

所以即，整理得到：，其中

故

，

累加后可得即，故②正確.

令，其中

則，在為減函數(shù)，

而，，

所以在存在一個零點(diǎn)，

當(dāng)時，；當(dāng)時，，

故在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，

而，所以當(dāng)時，恒成立，

所以在上恒成立.

故當(dāng)時，總有成立即成立，故③正確.

因為，故即，

因為，由累乘可得，

整理得到，

當(dāng)時，則有，

故，此時有，故④不成立.

綜上，四個結(jié)論中正確的是①②③.

故答案為：①②③.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角，在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系取相同的長度單位，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸）中，圓的極坐標(biāo)方程為.

（1）寫出直線的參數(shù)方程，并把圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)與圓相交于、兩點(diǎn)，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在中，，，.過的中點(diǎn)的動直線與線段交于點(diǎn).將沿直線向上翻折至，使得點(diǎn)在平面內(nèi)的投影落在線段上.則點(diǎn)的軌跡長度為________.

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【題目】如圖，在正方體中，點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）

A.無論點(diǎn)在上怎么移動，都有

B.當(dāng)點(diǎn)移動至中點(diǎn)時，才有與相交于一點(diǎn)，記為點(diǎn)，且

C.無論點(diǎn)在上怎么移動，異面直線與所成角都不可能是

D.當(dāng)點(diǎn)移動至中點(diǎn)時，直線與平面所成角最大且為

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，平面四邊形中，，是上的一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且.

（1）證明：平面平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)、是兩個不同的平面，點(diǎn)、，、，下列命題中正確的是（ ）

A.若，，則，

B.若，，則，

C.若，，，則、，

D.若，，則

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2019年10月1日，是中華人民共和國成立70周年紀(jì)念日.70年砥礪奮進(jìn)，70年波瀾壯闊，感染、激勵著一代又一代華夏兒女，為祖國的繁榮昌盛努力拼搏，奮發(fā)圖強(qiáng).為進(jìn)一步對學(xué)生進(jìn)行愛國教育，某校社會實踐活動小組，在老師的指導(dǎo)下，從學(xué)校隨機(jī)抽取四個班級160名同學(xué)對這次國慶閱兵受到激勵情況進(jìn)行調(diào)查研究，記錄的情況如下圖：

（1）如果從這160人中隨機(jī)選取1人，此人非常受激勵的概率和此人是很受激勵的女同學(xué)的概率都是，求的值；

（2）根據(jù)“非常受激勵”與“很受激勵”兩種情況進(jìn)行研究，判斷是否有的把握認(rèn)為受激勵程度與性別有關(guān).

附：

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若函數(shù)在處有極值，且，則稱為函數(shù)的“F點(diǎn)”.

（1）設(shè)函數(shù)（）.

①當(dāng)時，求函數(shù)的極值；

②若函數(shù)存在“F點(diǎn)”，求k的值；

（2）已知函數(shù)（a，b，，）存在兩個不相等的“F點(diǎn)”，，且，求a的取值范圍.

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【題目】某中學(xué)準(zhǔn)備組建“文科”興趣特長社團(tuán)，由課外活動小組對高一學(xué)生文科、理科進(jìn)行了問卷調(diào)查，問卷共100道題，每題1分，總分100分，該課外活動小組隨機(jī)抽取了200名學(xué)生的問卷成績（單位：分）進(jìn)行統(tǒng)計，將數(shù)據(jù)按照，，，，分成5組，繪制的頻率分布直方圖如圖所示，若將不低于60分的稱為“文科方向”學(xué)生，低于60分的稱為“理科方向”學(xué)生.

理科方向

文科方向

總計

男

110

女

50

總計

（1）根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有99%的把握認(rèn)為是否為“文科方向”與性別有關(guān)？

（2）將頻率視為概率，現(xiàn)在從該校高一學(xué)生中用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取1人，共抽取3次，記被抽取的3人中“文科方向”的人數(shù)為，若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求的分布列、期望和方差.

參考公式：，其中.

參考臨界值：

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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