Question

【題目】如圖，在中，，，.過(guò)的中點(diǎn)的動(dòng)直線與線段交于點(diǎn).將沿直線向上翻折至，使得點(diǎn)在平面內(nèi)的投影落在線段上.則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為________.

Answer 1

【答案】

【解析】

建立空間坐標(biāo)系，求出的軌跡，根據(jù)折疊過(guò)程中量之間的關(guān)系的，可得的取值范圍，進(jìn)而得到圓心角，從而弧長(zhǎng)即點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度.

因?yàn)榉矍昂?/span>長(zhǎng)度不變，所以點(diǎn)可以在空間中看做以為球心，AC為直徑的球面上，又因?yàn)?/span>的投影始終在上，所以點(diǎn)所在的面垂直于底面，

故點(diǎn)軌跡為垂直于底面ABC的豎直面去截球所得圓面的圓弧，這個(gè)圓弧的直徑為時(shí)，的長(zhǎng)度（由余弦定理可得，所以此時(shí)），

如圖，以底面點(diǎn)B為空間原點(diǎn)建系，根據(jù)底面幾何關(guān)系，

得點(diǎn)，點(diǎn)，

設(shè)點(diǎn)，翻折后點(diǎn)的投影在軸上，

所以點(diǎn)縱坐標(biāo)為0，即由，，

根據(jù)空間兩點(diǎn)之間距離公式可得軌跡：，

又因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)要符合空間面翻折結(jié)論：，

即，其中，

又動(dòng)點(diǎn)N在線段AB上動(dòng)，設(shè)，

故，

且，由，可計(jì)算得橫坐標(biāo)范圍為，

且點(diǎn)在上方，由，計(jì)算可得圓弧所在扇形圓心角為，

所以弧長(zhǎng)為.

故答案為：.