Question

已知一次函數(shù)f（x）=ax-2．
（1）當(dāng)a=3時，解不等式|f（x）|＜4；
（2）解關(guān)于x的不等式|f（x）|＜4；
（3）若不等式|f（x）|≤3對任意x∈[0，1]恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法,函數(shù)恒成立問題

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=3時，|f（x）|＜4?|3x-2|＜4，解之即可；
（2）|f（x）|＜4?|ax-2|＜4?-2＜ax＜6，通過對參數(shù)a的取值為正、負(fù)、0的討論，即可求得原不等式的解集；
（3）|f（x）|≤3?|ax-2|≤3?-3≤ax-2≤3?-1≤ax≤5?

ax≤5 ax≥-1

，依題意，通過對x=0與x≠0的討論，利用等價轉(zhuǎn)化思想可得

a≤ 5 x a≥- 1 x

，從而可得實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=3時，f（x）=3x-2，
∴|f（x）|＜4?|3x-2|＜4?-4＜3x-2＜4?-2＜3x＜6?-

2

3

＜x＜2．
∴不等式的解集為{x|-

2

3

＜x＜2}．
（2）|f（x）|＜4?|ax-2|＜4?-4＜ax-2＜4?-2＜ax＜6，
當(dāng)a＞0時，不等式的解集為{x|-

2

a

＜x＜

6

a

}；
當(dāng)a＜0時，不等式的解集為{x|

6

a

＜x＜-

2

a

}．
（3）|f（x）|≤3?|ax-2|≤3?-3≤ax-2≤3?-1≤ax≤5?

ax≤5 ax≥-1

，
∵x∈[0，1]，
∴當(dāng)x=0時，不等式恒成立；
當(dāng)x≠0時，不等式組轉(zhuǎn)化為

a≤ 5 x a≥- 1 x

，
又

5

x

≥5，

-1

x

≤-1，
∴-1≤a≤5，且a≠0．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，著重考查等價轉(zhuǎn)化思想與函數(shù)方程思想、分類討論思想的綜合應(yīng)用，突出函數(shù)恒成立問題的考查，屬于中檔題．