Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ADC為直角，AD∥BC，AB⊥AC，AC=AB=2，PA=1，G是△PAC的重心，E為PB中點，F(xiàn)在線段BC上，且CF=2FB．
（1）證明：FG∥平面PAB；    
（2）證明：FG⊥AC；
（3）求三棱錐P-ACE的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：計算題,證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）欲證FG∥平面PAB，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證FG與平面PAB內(nèi)一直線平行，連接CG延長交PA于M，連BM，根據(jù)比例可得FG∥BM，BM?平面PAB，F(xiàn)G?平面PAB，滿足定理條件；
（2）欲證FG⊥AC，而FG∥BM，可先證AC⊥BM，欲證AC⊥BM，可證AC⊥平面PAB，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證AC與平面PAB內(nèi)兩相交直線垂直，而PA⊥AC，又AB⊥AC，PA∩AB=A，滿足定理條件；
（3）由（2）知，AC⊥平面PAB，由V_P-ACE=V_C-AEP=

1

3

AC•S_△AEP．即可得到．

解答： （1）證明：（1）連接CG延長交PA于M，連BM，
∵G為△PAC的重心，∴

CG

GM

=2又∵

CF

FB

=2，∴FG∥BM．
又∵BM?平面PAB，
∴FG?平面PAB，
∴FG∥平面PAB
（2）證明：∵PA⊥平面ABCD，PA⊥AC，又AB⊥AC，PA∩AB=A，
∴AC⊥平面PAB，∴AC⊥BM．
由（I）知FG∥BM，∴FG⊥AC；
（3）由（2）知，AC⊥平面PAB，
∴V_P-ACE=V_C-AEP=

1

3

AC•S_△AEP
=

1

3

×2×

1

2

×1×2×

1

2

=

1

6

．

點評：本題考查直線與平面平行、垂直的判定和性質(zhì)定理，同時考查棱錐的體積轉(zhuǎn)換法，及棱錐的體積公式，考查運算能力，屬于中檔題．