Question

已知函數(shù)，當(dāng)時，恒有．
(1)求證：是奇函數(shù)；
(2)如果為正實數(shù)，，并且，試求在區(qū)間[－2,6]上的最值．

Answer 1

(1)證明見解析；（2）最大值為1，最小值為－3．．

解析試題分析：解題思路：（1）利用奇函數(shù)的定義進行證明；（2）先證明的單調(diào)性，再求在的最值．
規(guī)律總結(jié)：（1）證明函數(shù)奇偶性的步驟：①驗證函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱，②判斷與的關(guān)系，③下結(jié)論；（2）先利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性求最值．注意點：判定或證明函數(shù)的奇偶性時，一定不要忘記驗證函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱．
試題解析： (1)函數(shù)定義域為，其定義域關(guān)于原點對稱，
，令，
，令，
，得．
，得，為奇函數(shù)．
(2)設(shè)．
則．
,,，即在上單調(diào)遞減．
為最大值，為最小值．
，
．
∴在區(qū)間上的最大值為1，最小值為－3．
考點：1．函數(shù)的奇偶性；2．函數(shù)的最值．