Question

如圖，

OA

，

OB

為平面的一組基向量，

OC

=3

OA

，

OD

=

3

2

OB

，AD與BC交與點P．
（1）求

OP

關(guān)于

OA

，

OB

的分解式；
（2）設(shè)∠BOA=60°，|

OA

|=|

OB

|=7，求|

OP

|；
（3）過P任作直線l交直線OA，OB于M，N兩點，設(shè)

OM

=m

OA

，

ON

=n

OB

，（m，n≠0）求m，n的關(guān)系式．

Answer 1

考點：向量加減混合運算及其幾何意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用向量的三角形法則和向量共線定理即可得出；
（2）利用數(shù)量積的性質(zhì)即可得出；
（3）利用（1）的結(jié)論和向量共線定理即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)

AP

=λ

AD

，

BP

=μ

BC

．
∵

OP

=

OA

+

AP

，

OP

=

OB

+

BP

．
∴

OP

=

OA

+λ

AD

，

OP

=

OB

+μ

BC

．
又

AD

=

OD

-

OA

，

OD

=

3

2

OB

，
∴

OP

=

OA

+λ(

3

2

OB

-

OA

)=(1-λ)

OA

+

3

2

λ

OB

，
同理可得

OP

=3μ

OA

+(1-μ)

OB

．
由平面向量基本定理可得：

1-λ=3μ 3 2 λ=1-μ

，解得

λ= 4 7 μ= 1 7

．
∴

OP

=

3

7

OA

+

6

7

OB

．
（2）∵∠BOA=60°，|

OA

|=|

OB

|=7，
∴

OA

•

OB

=|

OA

| |

OB

|cos60°=

49

2

．
∴|

OP

|=

9 49 OA 2+ 36 49 OB 2+ 36 49 OA • OB

=

9+36+18

=3

7

．
（3）由（1）可知：

OP

=

3

7

OA

+

6

7

OB

．
又

OM

=m

OA

，

ON

=n

OB

，
∴

OP

=

3

7m

OM

+

6

7n

ON

，
∵點M、P、N三點共線，
∴

3

7m

+

6

7n

=1．

點評：本題考查了向量的三角形法則和向量共線定理、數(shù)量積的性質(zhì)、向量共線定理等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，
屬于難題．