Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點Q（-1，

2

2

），且離心率e=

2

2

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線l：y=kx+1與曲線C交于M、N兩點，當線段MN的中點在直線x+2y=1上時，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件得

c a = 2 2 1 a2 + 1 2 b2 =1 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點（x₀，y₀），利用點差法能求出直線l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點Q（-1，

2

2

），且離心率e=

2

2

，
∴

c a = 2 2 1 a2 + 1 2 b2 =1 a2=b2+c2

，解得

a2=2 b2=1

，
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點（x₀，y₀）
得

x12+2y12=2 x22+2y22=2

，
兩式相減，得 (

x

2 1

-

x

2 2

)+2(

y

2 1

-

y

2 2

)=0(x1+x2)+2(y1+y2)•(

y1-y2

x1-x2

)=0（x₁≠x₂），
即x₀+2y₀•k=0，又x₀+2y₀=0，∴k=1，
∴直線l的方程為y=x+1．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，解題時要認真審題，注意點差法的合理運用．