Question

在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠APB=90°，點(diǎn)M是線段AB上的一點(diǎn)，且PM⊥CD，AB=BC=2PB=2AD=4BM．
（1）證明：面PAB⊥面ABCD；
（2）求平面PAB與平面PCD的二面角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,平面與平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出PM⊥AB，從而得到PM⊥面ABCD，由此能證明面PAB⊥面ABCD．
（2）延長AB與CD交于一點(diǎn)H，作AN⊥PH，連接ND，則∠AND就是平面PAB與平面PCD的二面角的平面角，由此能求出平面PAB與平面PCD的二面角的正弦值．

解答： （1）證明：∵AB=2PB=4BM，∴PM⊥AB，
又∵PM⊥CD，且AB∩CD，
∴PM⊥面ABCD，…（5分）
∵PM?面PAB．∴面PAB⊥面ABCD．…（7分）
（2）解：由（1）知：面DA⊥面PAB，
延長BA與CD交于一點(diǎn)H，
作AN⊥PH，連接ND，
則∠AND就是平面PAB與平面PCD的二面角的平面角，…（10分）
在△AND中，AN=

39

13

，AD=2t，
∴sin∠AND=

13

4

，
∴平面PAB與平面PCD的二面角的正弦值是

13

4

．…（15分）

點(diǎn)評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的正弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．