Question

在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=AD=1，PD=

3

，CD=2．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面PBD；
（Ⅱ）點(diǎn)E是線段PC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，二面角E-BA-D的大小是否可以為30°？若可以，求出線段PE的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由線面垂直得PD⊥BC，由勾股定理的逆定理得CB⊥BD，由此能證明BC⊥平面PBD．
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角E-BA-D的大小可以為30°，線段PE的長(zhǎng)為

2 7

3

．

解答： （Ⅰ）證明：∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC．…（2分）
在直角梯形ABCD中，∠BAD=90°，AB=AD=1，
∴BD=

2

，BC²=（CD-AB）²+AD²=2，
在△CBD中，由勾股定理的逆定理知，
△CBD是直角三角形，且CB⊥BD．…（4分）
∵PD⊥BC，BC⊥BD，BD∩PD=D，
∴BC⊥平面PBD．…（5分）
（Ⅱ）解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
D（0，0，0）、P(0，0，

3

)、A（0，1，0）、B（1，1，0）、C（2，0，0）．…（6分）
平面BAD的一個(gè)法向量為

m

=(0，0，1)，…（7分）
設(shè)

PE

=λ

PC

（0≤λ≤1），則E(2λ，0，

3

-

3

λ)，

AB

=(1，0，0)，

AE

=(2λ，-1，

3

-

3

λ)，
設(shè)平面EBA的一個(gè)法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n • AB =x=0 n • AE =2λx-y+( 3 - 3 λ)z=0

，
取z=1，得

n

=(0，

3

-

3

λ，1)，
∵二面角E-BA-D的大小為30°，
∴cos30°=cos＜

n

，

m

＞=

1

( 3 - 3 λ)2+1

，
解得λ=

2

3

，…（10分）
∴|PE|=

7

λ=

2 7

3

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查角能否為30°的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．