Question

合肥一中每年五月舉行校園微型博覽會，在會館入口處準備了A，B，C三種形式的校長簽名紀念卡片供參觀同學抽取．
（Ⅰ）若有大量紀念卡，其中20%的A卡，現(xiàn)抽取了5張，求其中A卡的張數(shù)X的分布列及其數(shù)學期望E（X）；（注：在總體數(shù)量特別大時，無放回抽樣可以近似看作有放回抽樣）
（Ⅱ）活動結(jié)束，剩余若干紀念卡，從中任意抽取1張紀念卡，得到A卡的概率是

3

7

，任意抽取2張卡，沒有B卡的概率是

1

4

，求證：任意抽取2張卡，至少得到1張A卡的概率不大于

5

7

，并指出余下的卡中哪種卡最少．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,相互獨立事件的概率乘法公式

專題：應用題,概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）抽取的5張中A卡的張數(shù)X～B（5，0.2），可求A卡的張數(shù)X的分布列及其數(shù)學期望E（X）；
（Ⅱ）假設(shè)其余n張卡，A卡有m張，則2m＜n，即2m≤n-1，任取2張卡，至少得到1張A卡的概率P=

3

7

+

4

7

•

m-1

n-1

，即可證明結(jié)論；求出任意抽取2張卡，至少得到1張B卡的概率，即可得出結(jié)論．

解答： （Ⅰ）解：抽取的5張中A卡的張數(shù)X～B（5，0.2），分布列為

X	0	1	2	3	4	5
P	C 0 5 •0．85	C 1 5 •0.2•0．84	C 2 5 •0．22•0．83	C 3 5 •0．23•0．82	C 4 5 •0．24•0.8	0.25

E（X）=5×0.2=1；
（Ⅱ）證明：假設(shè)其余n張卡，A卡有m張，則2m＜n，即2m≤n-1．
任取2張卡，至少得到1張A卡的概率P=

3

7

+

4

7

•

m-1

n-1

，
∵

m-1

n-1

＜

m

n-1

≤

1

2

，
∴P＜

5

7

；
由于任意抽取2張卡，至少得到1張B卡的概率是1-

1

4

=

3

4

＞

5

7

，
∴B卡多于A卡，超過

3

7

，
∴C卡所占比例少于1-

3

7

-

3

7

=

1

7

，
∴C卡最少．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列及其數(shù)學期望，考查概率的計算，考查學生的計算能力，屬于中檔題．