Question

如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，M、N分別是AB、PC中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：MN∥平面PAD；
（Ⅱ）求證：AB⊥MN．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì),直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）欲證MN∥平面PAD，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證MN與平面PAD內(nèi)一直線平行即可，設(shè)PD的中點(diǎn)為E，連接AE、NE，易證AMNE是平行四邊形，則MN∥AE，而AE?平面PAD，NM?平面PAD，滿足定理所需條件；（Ⅱ）欲證AB⊥MN，先證線面垂直即可得到AB⊥MN．

解答： 證明：（Ⅰ）取PD中點(diǎn)Q，連結(jié)AQ，NQ．
∵N是PC中點(diǎn)，
∴NQ  

∥ .

.

  

1

2

DC
又∵M(jìn)是AB中點(diǎn)，AM 

∥ .

.

  

1

2

DC，
∴AM 

∥ .

.

 NQ，
∵四邊形AQNM是平行四邊形．
∴MN∥AQ．
∵M(jìn)N?平面PAD，AQ?平面PAD，
∴MN∥平面PAD．
（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB．
又∵底面ABCD為矩形，
∴AB⊥AD．
∴AB⊥平面PAD，
∴AB⊥AQ．
又∵AQ∥MN，
∴AB⊥MN．

點(diǎn)評：本題主要考查平面與平面垂直的判定，以及線面平行的判定，同時(shí)考查了空間想象能力和推理能力，以及轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于基礎(chǔ)題．