Question

（本小題滿分14分）
如圖所示，橢圓C： 的兩個(gè)焦點(diǎn)為、，短軸兩個(gè)端點(diǎn)為、．已知、、 成等比數(shù)列，，與 軸不垂直的直線 與C 交于不同的兩點(diǎn)、，記直線、的斜率分別為、，且．
（Ⅰ）求橢圓 的方程；
（Ⅱ）求證直線 與 軸相交于定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅲ）當(dāng)弦 的中點(diǎn)落在四邊形 內(nèi)（包括邊界）時(shí)，求直線 的斜率的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）證明見(jiàn)解析。（0，2）
（Ⅲ） 或

（Ⅰ）易知、、（其中），則由題意知有．又∵，聯(lián)立得．∴．
∵，∴．∴．
故橢圓C的方程為．                                         4分
（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，、坐標(biāo)分別為、．
由．
∴．                                6分
∵．
∴＝．
將韋達(dá)定理代入，并整理得，解得．
∴直線 與 軸相交于定點(diǎn)（0，2）．                                   10分
（III）由（Ⅱ）中，其判別式，得．①
設(shè)弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，
∴點(diǎn)在軸上方，只需位于三角形內(nèi)就可以，即滿足
  將坐標(biāo)代入，整理得 
解得 ②
由①②得所求范圍為 或．                        14分