設(shè)函數(shù)f（x）=
|x|x+2
-ax2，其中a∈R．
（1）當a=2時，求函數(shù)f（x）的零點；
（2）當a＞0時，求證：函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)有且僅有一個零點．
分析：（1）當a=2時，函數(shù)f（x）=
|x|- 2x2(x+2)
x+2
，令|x|-2x2（x+2）=0，可得 ①
x≥0
x-2x3-4x2=0
，或②
x＜0
-x-2x3-4x2=0
．分別解①、②求得x的值，可得函數(shù)f（x）的零點．
（2）當a＞0時，若x≥0，化簡函數(shù)f（x）的解析式為
x(1-ax2-2ax)
x+2
．令f（x）=0，求得f（x）在（0，+∞）上有唯一零點，命題得證．
解答：解：（1）當a=2時，函數(shù)f（x）=
|x|
x+2
-2x2=
|x|- 2x2(x+2)
x+2
，
令|x|-2x2（x+2）=0，可得 ①
x≥0
x-2x3-4x2=0
，或②
x＜0
-x-2x3-4x2=0
．
解①可得 x=0，x=
6
2
+1，或x=
6
2
-1．
解②可得 x=
2
2
-1．
綜上可得，當a=2時，函數(shù)f（x）的零點為 x=0，x=
6
2
+1，或x=
6
2
-1，或 x=
2
2
-1．
（2）證明：∵當a＞0時，若 x≥0，則函數(shù)f（x）=
|x|
x+2
-ax2=
x
x+2
-ax2 =
x(1-ax2-2ax)
x+2
．
令f（x）=0，可得x（1-ax2-2ax）=0，解得 x=0，或 x=-1+
2
，或x=-1-
2
（舍去）．
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有唯一零點x=-1+
2
．
點評：本題主要考查函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
，求a的值；
（2）關(guān)于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）對于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設(shè)a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為A，若存在非零實數(shù)t，使得對于任意x∈C（C⊆A），有x+t∈A，且f（x+t）≤f（x），則稱f（x）為C上的t低調(diào)函數(shù)．如果定義域為[0，+∞）的函數(shù)f（x）=-|x-m2|+m2，且 f（x）為[0，+∞）上的10低調(diào)函數(shù)，那么實數(shù)m的取值范圍是（　　）
A、[-5，5]
B、[-
5
，
5
]
C、[-
10
，
10
]
D、[-
5
2
，
5
2
]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設(shè)曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設(shè)g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設(shè)h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（x+2）=f（x）恒成立；當x∈[0，1]時，f（x）=x3-4x+3．有下列命題：
①f(-
3
4
) ＜f(
15
2
)；
②當x∈[-1，0]時f（x）=x3+4x+3；
③f（x）（x≥0）的圖象與x軸的交點的橫坐標由小到大構(gòu)成一個無窮等差數(shù)列；
④關(guān)于x的方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上有7個不同的根．
其中真命題的個數(shù)為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：徐州模擬 題型：解答題

設(shè)函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為2
2
，求a的值；
（2）關(guān)于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）對于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設(shè)a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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