Question

【題目】已知平面直角坐標(biāo)系中，曲線的方程為，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．若將曲線上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的一半，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍，得曲線．

（1）寫出直線和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)， 直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)分別為，，求的值．

Answer 1

【答案】（1），（2）

【解析】

（1）轉(zhuǎn)化直線的極坐標(biāo)方程為，利用極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化公式得直線的直角坐標(biāo)方程；設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)為坐標(biāo)變換后點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，由題意得，代入化簡(jiǎn)即可得解；

（2）寫出直線的參數(shù)方程,(t為參數(shù))，代入的直角坐標(biāo)方程，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，轉(zhuǎn)化條件即可得解.

（1）直線的極坐標(biāo)方程可化為，

直線的直角坐標(biāo)方程為；

設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)為坐標(biāo)變換后點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，

則，，化簡(jiǎn)得，

曲線的直角坐標(biāo)方程為；

（2）由題意點(diǎn)在直線上，

則直線的參數(shù)方程為,(t為參數(shù))，

將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程可得：，，

則，，

.