Question

【題目】已知函數(shù)．

（1），求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：

（2）對于任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）求導(dǎo)后，按照、、與分類，分別解出不等式，即可得解；

（2）轉(zhuǎn)化條件得對于任意，不等式恒成立，設(shè)，則，設(shè)，求導(dǎo)后可得在上單調(diào)遞增，進(jìn)而可得，使得，即，則，設(shè)，求導(dǎo)后可得在上單調(diào)遞增，即可證，代入求出后，即可得解.

（1）由題意，

則，

（i）當(dāng)時，的解集為，則的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；

（ii）當(dāng)時，，則的單調(diào)增區(qū)間為，無單調(diào)減區(qū)間；

（iii）當(dāng)時，的解集為，則的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；

（iiii）當(dāng)時，的解集為，則的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.

（2）由已知，問題等價(jià)于對于任意，不等式恒成立，

設(shè)，則，

設(shè)，則，

在上，，單調(diào)遞增，

又，，所以，

所以，使得，即，

在上，，單調(diào)遞減；

在上，，單調(diào)遞增；

所以，

又有，

設(shè)，則有和，

所以在上，單調(diào)遞增，所以，

所以，

故實(shí)數(shù)的取值范圍為.